2.2 Закон равномерной плотности

Плотность вероятности случайной величины, распределённой по закону равномерной плотности, имеет постоянное значение на всём интервале изменения случайной величины, то есть (см.Рис. 2.2)

(2.12)

Так как площадь, ограниченная кривой f(x) и осью абсцисс, равна 1, т.е. ( - ) с =1, то , поэтому выражение для плотности распределения можно представить в виде:

(2.13)

Функция распределения равномерно распределённой случайной величины имеет вид:

(2.14)

График функции распределения приведен на Рис.2.2

f(x)

c

  x

F(x)

1,0

x

Рис.2.2 Плотность вероятности

и функция распределения закона

равномерной плотности.

Определим числовые характеристики равномерного распределения.

Математическое ожидание

. (2.15)

Дисперсию находим по формуле

. (2.16)

СКО равно . (2.17)

Вероятность попадания случайной величины на интервал от  до  определяется из выражения

(2.18)

Примером равномерного распределения является распределение ошибок считывания положения стрелки измерительного прибора между двумя делениями шкалы, «шумы квантования» АЦП и др.

2.3 Экспоненциальное распределение

Распределение случайных величин по экспоненциальному закону играет важную роль в описании процессов технической эксплуатации авиационного РЭО. Экспоненциальный закон распределения применяется при анализе сложных систем, прошедших период приработки, внезапных отказах, происходящих за счёт скрытых дефектов технологии, в теории массового обслуживания. Этому закону подчиняется наработка между двумя последовательными отказами в установившемся режиме работы изделия, время восстановления работоспособности при устранении отказов и т.д.

Функция распределения случайной величины, распределённой по экспоненциальному закону, определяется выражением

, (2.19)

поэтому плотность распределения . (2.20)

Как видно из этих выражений, экспоненциальное распределение характеризуется одним параметром , который является величиной, обратной математическому ожиданию

(2.21)

Дисперсия для экспоненциального распределения

D(X)= . (2.22)

Вероятность попадания случайной величины на интервал определяется по формулам (2.7), (2.10) в зависимости от выбора вида функции Лапласа (2.4) – (2.6).

2.4 Распределение Вейбулла

Введя некоторую вспомогательную функцию и взяв от неё производную , получают распределение Вейбулла:

(2.23)

В этом распределении два параметра:

• - определяет масштаб распределения [так как изменение этого параметра приводит к сжатию или растягиванию кривой f(t) ] ;

• к- изменяется обычно в пределах от 0,1 до 2.

При к=1 выражение (2.23) принимает вид , то есть распределение Вейбулла превращается в показательное с параметром .

При к=2 распределение Вейбулла превращается в распределение Релея с плотностью вероятности . (2.24)

Вероятность безотказной работы для распределения Вейбулла определяется в виде:

.

В результате вычислений находим:

. (2.25)

Интенсивность отказов находится по формуле:

(2.26)

Средняя наработка до отказа :

, (2.27)

где - гамма-функция числа

Дисперсия наработки до отказа равна:

. (2.28)

Распределения Вейбулла и Релея применяются для:

• описания постепенных отказов электронных ламп, транзисторов, резисторов и других радиоэлементов;

• описания отказов, вызываемых старением и износом;

• описания надёжности нерезервированного РЭО, состоящего из многочисленных комплектующих элементов.

Кроме того, распределение Вейбулла применяется для описания сроков службы подшипников, характеристик прочности, упругости, усталостной стойкости стали, а также характеристик прочности и долговечности механических систем.