6. Проверка гипотезы о законе распределения. Критерии согласия.

В некоторых случаях по результатам испытаний необходимо определить не только числовые характеристики случайных величин, но и установить их закон распределения. Первоначальным этапом этой операции может быть графическое изображение закона распределения в виде эмпирической функции распределения, полигона или гистограммы.

Число наблюдений над изучаемой случайной величиной обычно ограничено, поэтому в статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, которые исчезают только при очень большом числе испытаний. В связи с тем, что получение большого числа экспериментальных данных обычно невозможно, возникает задача о необходимости подбора такой кривой распределения, которая бы наилучшим образом отражала существенные черты изучаемой случайной величины и отбрасывала случайности, связанные с недостаточным объёмом исходных статистических данных. При решении указанной задачи выравнивания статистических распределений с помощью некоторой теоретической кривой, вид этой выравнивающей (теоретической) кривой выбирают, исходя из различных соображений, при этом возможны два случая.

В первом вид теоретической кривой бывает заранее известен из физического рассмотрения изучаемой случайной величины. Например, известно, что распределение погрешностей измерений, возникающих вследствие воздействия на результаты измерений большого числа независимых факторов, подчиняется нормальному закону распределения. В этом случае задача выравнивания эмпирического распределения сводится к рациональному выбору параметров теоретического распределения – для приведенного выше примера – к выбору параметров нормального распределения (МО и дисперсии).

Если вид закона распределения исследуемой случайной величины неизвестен, то теоретическая кривая может быть выбрана по внешнему виду статистического распределения.

Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между нею и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранная кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение? Для ответа на этот вопрос и служат так называемые критерии согласия. Суть их применения заключается в следующем. На основании данного статистического материала нам необходимо проверить гипотезу Н, состоящую в том, что случайная величина Х подчиняется некоторому определённому закону распределения. Этот закон может быть задан в различной форме: например, в виде функции распределения F(x), плотности распределения f(x), или в виде совокупности вероятностей , где - вероятность того, что величина Х попадёт в пределы i-го разряда.

Если эмпирическую функцию распределения изучаемой случайной величины х обозначить через , а выбранную теоретическую функцию распределения обозначить через F(x), то поставленную задачу можно сформулировать следующим образом: на основе экспериментальных данных проверить предположение, при котором изучаемая случайная величина х имеет закон распределения F(x).

Для того чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н, вводят некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений. Величина U может быть выбрана различными способами: например, в качестве U можно взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей от соответствующих частот или же сумму тех же квадратов с некоторыми коэффициентами (весами), или же максимальное отклонение статистической функции распределения от теоретической F(x) и т. д. Как бы ни была выбрана мера расхождения, она всегда является случайной величиной, закон распределения которой зависит от закона распределения случайной величины Х, над которой производились опыты, и от числа опытов n. Если гипотеза Н верна, то закон распределения величины U определяется законом распределения величины Х[функцией F(x)] и числом n.

Предположим, что этот закон распределения нам известен. В результате данной серии опытов обнаружено, что выбранная нами мера расхождения U приняла некоторое значение u. Спрашивается, можно ли объяснить это случайными причинами или же это расхождение слишком велико и указывает на наличие существенной разницы между теоретическим и статистическим распределениями и, следовательно, на непригодность гипотезы Н? Для ответа на этот вопрос предположим, что гипотеза Н верна, и вычислим в этом предположении вероятность того, что за счёт случайных причин, связанных с недостаточным объёмом опытного материала, мера расхождения U окажется не меньше, чем наблюденное нами в опыте значение u, т.е. вычислим вероятность события . Если эта вероятность весьма мала, то гипотезу о том, что случайная величина х имеет функцию распределения F(x) следует отвергнуть как не подтверждаемую статистическими данными. И, наоборот, если полученная вероятность значительна, следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Н – предположению, что случайная величина х распределена по закону F(x).

Вернёмся к вопросу о выборе меры расхождения. Рациональным выбором меры расхождения можно добиться того, что её закон распределения при достаточно большом числе опытов n практически не будет зависеть от вида теоретической функции F(x). Именно такими мерами расхождения и пользуются в математической статистике в качестве критериев согласия. В качестве указанных критериев ГОСТ требует использовать критерий , критерий Колмогорова и критерий . Количество наблюдений случайной величины х согласно указанному ГОСТ для критериев и Колмогорова должно быть не менее 100, а для критерия - не менее 50. Достоверность полученного результата оценивается либо уровнем значимости  (ошибкой первого рода, т.е. вероятностью отклонения истинного закона распределения из-за значительных случайных выбросов в статистике), либо доверительной вероятностью =1- .

Величина  выбирается, как правило, в пределах 0,01 – 0,1 и не диктуется какими – либо соображениями математической статистики.

Критерий целесообразно применять в том случае, когда теоретический закон распределения неизвестен; критерий Колмогорова – если теоретический закон известен и требуется проверить соответствие ему результатов эксперимента. Критерий более мощный, применяется при меньшем числе наблюдений, а также в том случае, когда полученный в процессе расчёта уровень значимости или доверительная вероятность очень близки к заданным. Следует иметь в виду, что очень большое различие между заданными  и  и полученными в процессе расчёта (при условии принятия предположения о согласии распределений) ещё не говорит о хорошем согласии, а может свидетельствовать о том, что из статистики были необоснованно исключены большие отклонения.