6.2 Критерий согласия Колмогорова

Выбор меры расхождения по формуле (6.4) не является единственно возможным. А.Н.Колмогоров в качестве меры расхождения между теоретическим и экспериментальным распределениями предложил использовать максимальное значение модуля разности между теоретической и эмпирической функциями распределения

. (6.8)

Основанием для выбора в качестве меры расхождения величины D является простота её вычисления и тот факт, что она имеет достаточно простой закон распределения. Колмогоров доказал, что, какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n вероятность неравенства стремится к пределу

(6.9)

Значения вероятности Р(), подсчитанные по формуле (6.9) приведены в таблице 6.1

Таблица 6.1

	Р()		Р()		Р()
0,0	1,000	0,7	0,711	1,4	0,040
0,1	1,000	0,8	0,544	1,5	0,022
0,2	1,000	0,9	0.393	1,6	0,012
0,3	1,000	1,0	0,270	1,7	0.006
0,4	0.997	1.1	0,178	1,8	0,003
0,5	0,964	1,2	0.112	1,9	0,002
0,6	0,864	1,3	0,068	2,0	0,001

Схема применения критерия А.Н.Колмогорова следующая:

1.На одном графике строят статистическую и предполагаемую теоретическую функции распределения.

2.Определяют максимум D модуля разности между ними.

3Находят величину (где n – число наблюдений над случайной величиной).

4.По полученному значению , пользуясь Табл.5.1, находят значение вероятности Р(). Это и есть вероятность того, что [если величина Х действительно распределена по закону F(x)] за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между и F(x) будет не меньше, чем полученное по результатам данной серии испытаний. При малых значениях Р() гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную, при сравнительно больших Р() её можно считать совместимой с опытными данными.

Критерий А.Н.Колмогорова удобно применять на практике из-за его простоты и наглядности. Однако следует помнить, что этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение

F(x) полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известен не только вид функции распределения F(x), но и все входящие в неё параметры. Такой случай сравнительно редко встречается на практике. Обычно из теоретических соображений известен только общий вид функции F(x), а входящие в неё числовые параметры определяются по полученному статистическому материалу. При применении критерия “хи-квадрат” это обстоятельство учитывается соответствуюшим уменьшением числа степеней свободы этого распределения. Критерий Колмогорова такого согласования не предусматривает. Если всё же применять этот критерий в тех случаях, когда параметры теоретического распределения выбираются по статистическим данным, критерий даёт заведомо завышенные значения вероятности Р(); поэтому мы в ряде случаев рискуем принять как правдоподобную гипотезу, плохо согласующуюся с опытными данными.