2.Теоретические распределения наработки до отказа

Встречающиеся на практике случайные величины могут иметь самые разнообразные законы распределения. Однако некоторые законы наиболее часто встречаются при практическом применении.

2.1 Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная его особенность состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчинённых каким угодно законам распределения, приближённо подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые величины, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью распределения (плотностью вероятности, см. Рис. 2.1) вида:

. (2.1)

Как следует из формулы (2.1) , в выражение для f(x) входит два числовых параметра : (математическое ожидание) и _х(среднее квадратическое отклонение величины Х). Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке x=m_х; по мере удаления от

точки m плотность распределения падает, и при кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Параметр m (часто называемый центром рассеивания) характеризует положение случайной величины вдоль оси х. При увеличении m кривая распределения сдвигается по оси х вправо. Размерность центра рассеивания – та же, что и размерность случайной величины Х.

Параметр  (характеристика рассеивания) характеризует не положение, а форму кривой распределения. Наибольшая ордината кривой распределения (см. выражение (2.1) и Рис.2.1) обратно пропорциональна ; при увеличении  максимальная ордината уменьшается. Так как площадь под кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении  кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении  кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной. Размерность параметра  совпадает с размерностью параметра Х.

Определим далее вероятность попадания случайной величины Х, подчинённой нормальному закону с параметрами m, , на участок от  до . Для вычисления этой вероятности воспользуемся формулой

,

где F(x)- функция распределения величины Х.

С учётом (2.1), найдём функцию распределения F(x) случайной величины Х, распределённой по нормальному закону с параметрами m,: . (2.2)

Сделав в интеграле (2.2) замену переменной , приведём его к виду: (2.3)

Интеграл (2.3) не выражается через конечное число элементарных функций, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определённый интеграл через выражения (так называемый интеграл вероятностей или функция Лапласа), для которой составлены таблицы. Существует много разновидностей этих функций, например, (2.4) , (2.5) или . (2.6)

Какой из этих функций пользоваться – дело вкуса исследователя. Необходимо обратить внимание на тот факт, что при использовании различных функций формулы для расчёта вероятностей попадания случайной величины на участок и функций распределения отличаются друг от друга. Так, например, с использованием функции Лапласа (2.4) вероятность попадания случайной величины на участок от  до  равна:

, (2.7)

а функция распределения F(x) выражается в виде

(2.8)

Выражение (2.6) представляет собой функцию распределения для нормально распределённой случайной величины с параметрами m=0, =1 (эту функцию называют нормальной функцией распределения). Функция распределения (2.2) величины Х с параметрами m и  через нормальную функцию распределения (2.6) выражается в виде

, (2.9)

а вероятность попадания случайной величины Х на участок , 

. (2.10)

Таким образом, формулы (2.7) и (2.10) выражают вероятность попадания на участок случайной величины Х, распределённой по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартные функции распределения [ (2.4) для (2.7) и (2.5) или (2.6) для (2.10) ], соответствующие простейшему нормальному закону с параметрами 0,1. При этом аргументы функции Ф в формулах (2.7), (2.10) имеют простой смысл: это расстояние от правого конца участка  до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях; такое же расстояние для левого конца участка, причём это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.

При вычислении вероятностей при помощи функций Лапласа следует учитывать следующие их свойства: 1. 2.Ф(+)=1. 3. Ф(х) – неубывающая функция. 4. Ф(-х)= - Ф(х), т.е. функция Лапласа есть нечётная функция своего аргумента.

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания m. Для участка длины 2l вычислим эту вероятность с применением (2.10):

.

С учётом четвёртого свойства функции Лапласа, эта формула преобразуется к более компактному виду:

. (2.11)

Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания m последовательные отрезки длиной  и вычислим вероятность попадания случайной величины Х в каждый из них. Так как кривая нормального распределения симметрична, достаточно отложить такие отрезки только в одну сторону.

По формуле (2.10) с применением таблиц находим:

Как видно из этих данных, вероятности попадания на каждый из последующих отрезков (пятый, шестой и т.д.) с точностью до 0,001 равны нулю.

Округляя вероятности попадания в отрезки до 0,01 (до 1%), получим три важных для практики числа: 0,34; 0,14; 0,02, сумма которых равна 0.5. Это значит, что для нормально распределённой случайной величины всё рассеивание с точностью до долей процента укладывается на участке Таким образом, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание нормально распределённой случайной величины, можно ориентировочно указать интервал её практически возможных значений. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен под названием «правило трёх сигма». В метрологии также широко применяется «правило двух сигма». На основе правила трёх сигма строится ориентировочный способ определения СКО случайной величины: берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три.