Свойства бесконечно малых функций

1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией.

3. Произведение бесконечно малой функции на постоянную величину С является бесконечно малой функцией.

4. Произведение бесконечно малых функций и является бесконечно малой функцией.

5. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию , предел которой отличен от нуля ( ) является бесконечно малой функцией.

7.Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции. Теоремы о пределах (свойства пределов).

Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции

Теорема. Если функция имеет предел , то ее можно представить в виде суммы предела и бесконечно малой функции, т.е. , где при .

Обратная теорема. Если функция равняется сумме постоянной b и бесконечно малой функции , т. е. , где при , то эта постоянная является ее пределом, т. е. .

Теоремы о пределах (свойства пределов)

1. Единственность. Если существует lim f(x)=a, при x→xₒ, то этот предел единственный.

2. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т. е.

.

3. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т. е. .

а) Постоянную величину можно выносить за знак предела, т.е.

.

б) Предел степени функции равен степени предела функции, т. е. .

4. Предел частного функций равен частному пределов функций, если предел функции, стоящей в знаменателе, отличен от нуля, т. е.

.

8.Теорема о промежуточной функции. Первый замечательный предел.

Теорема о промежуточных значениях функции( теорема Больцано-Коши).

Она утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию g(x) =f(x)-C , для g(x) выполняются все условию теоремы Больцано- Коши о существовании точки, в которой функция равно нулю. Следовательно, существует точка ƹ такая, что

g(ƹ)=0 или f(ƹ)-C=0 => f(ƹ)=C.

Замечательные пределы

При нахождении пределов от функций, являющихся частным двух других функций, часто возникают случаи, когда предел и числителя, и знаменателя равняется нулю или бесконечности. Данные случаи называются неопределенностями типа частного вида и . При нахождении пределов могут также встречаться неопределенности типа степени. Например, таких видов: . В этих случаях нельзя сразу с помощью подстановки предельного значения независимой переменной в функцию найти предел или утверждать, что этот предел не существует. Необходимо применять специальные приемы и формулы. Замечательные пределы служат для раскрытия неопределенностей типа частного и специального вида неопределенности типа степени .