13.Точки разрыва функций.

Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если в этой точке функция не является непрерывной.

ИЛИ

Функция y=f(x) непрерывна на [a,b], если она непрерывна в ∀xϵ[a,b].

Нарушение условия непрерывности в точке называется разрывом функции.

Определение 1. Точка называется устранимой точкой разрыва функции y = f(x), если существуют односторонние пределы функции в этой точке, равные между собой, но не равные значению функции в этой точке .

Рис. 10

Например, функция имеет точку разрыва при х = 2 (рис. 10). . Классификация разрывов

Определение 2. Точка называется точкой разрыва функции y = f(x) первого рода, если существуют односторонние пределы функции в этой точке, не равные между собой, т. е. (рис. 11, рис. 12).

Рис. 11

Рис. 12

Определение 3. Точка называется точкой разрыва функции y = f(x) второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (рис. 13, рис. 14).

Рис. 13

Рис. 14

ИЛИ

Классификация разрывов

1. Функция f(x) имеет в точке разрыв первого рода, если:

1. 

2. 

3. C₁≠C₂ или C₁=C₂

2. Функция f(x) имеет разрыв второго рода, если в точке она имеет разрыв, и это не разрыв первого рода (бесконечная величина).

Пример Найти точку разрыва функции и построить график функции.

Функция не определена при x = 1. Найдем односторонние пределы функции в этой точке.

, .

Рис. 15

Функция имеет точку разрыва второго рода x = 1 (рис. 15). Найдем пределы функции при x. . Следовательно, y = 1 является горизонтальной асимптотой функции.

14.Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при , если этот предел существует (конечный или бесконечный), т. е.

.

Y

C

Геометрический смысл производной

B

D

A

0

X

=

Геометрический смысл производной: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке