19.Вывод формул дифференцирования степенной и показательно-степенной функций. Таб­лица производных. Производные высших порядков.

1. Производную степенной функции найдем так же, используя логарифмическое дифференцирование.

.

В практических задачах часто встречаются производные от функций и , которые полезно помнить.

. .

2. Производная обобщенно-показательной (показательно-степенной) функции . Используем определение логарифма, представим функцию в виде Эту функцию дифференцируем как сложную показательную функцию.

=

= .

Как можно заметить производная обобщенно-показательной функции равняется сумме производных как показательной и как степенной функций.

Производные высших порядков

Производной n-го порядка называется производная от производной

(n1)- го порядка.

Для того, чтобы найти производную n-го порядка функции , необходимо найти несколько производных (первого, второго, третьего порядка и т. д.), уяснить закономерность их образования в зависимости от порядка n и записать .

Пример. Производная первого порядка: Производная второго порядка: Производная третьего порядка: Производная четвертого порядка:

21.Дифференциал функции одной переменной. Определение, условия существования, гео­метрический смысл, свойства.

Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке называется величина dy≈yʹ∆x. Заметим, что dy=xʹ∆x => dy=∆x.

Геометрический смысл дифференциала

Для приращения функции y и ее дифференциала справедливо приближенное равенство , где   угол наклона касательной к оси Ох.

Сравним треугольники ∆ММ₁М₂ и ∆ММ₂N, где М₁ лежит на кривой, а M₂ – на касательной. Очевидно, что М₁N=∆f, а М₂N=tgθ∆x=f ʹ(x)∆x=df. Отсюда следует, что дифференциал численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке x.

Свойства дифференциала

Пусть u = u (x), v = v(x) дифференцируемые функции.

1. .

2. .

3. .

4. Вид дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или в свою очередь является дифференцируемой функцией другой переменной.

Действительно, если , то .

Если , , то .

22.Применение дифференциала функции одной переменной для приближенных вычислений. Дифференциалы высших порядков.

1. Вычисление приближенного значения функции или ее приращения.

Пусть дифференцируемая функция в окрестности точки . Тогда при бесконечно малом приращении х с точностью до бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с х можно считать, что приращение функции равняется ее дифференциалу , т. е. . Данное приближенное равенство используют для вычисления приращений функций и ее значений по формулам

,

.

При вычислениях по данным формулам точность не гарантируется. Все зависит от вида функции, величины независимой переменной и ее приращения, так как в данном случае любая функция заменяется линейной функцией (касательной к графику этой функции). Пример.

tg 46⁰=tg(45⁰+1⁰)=tg( ) tg tg ) 1+2 1+ =tg = ₀=

= ( )= ( )= =2

( ₀)= tg =1

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n 1)-го порядка, полученный в предположении, что дифференциал независимой переменной постоянный, т. е.

.

Находим , . Очевидно, .

Из последнего равенства можно записать .