2.Функции, способы их задания, классификация.

Функция-закон, с помощью которого связаны 2 множества: множество значений Х и множество значений У.

Определение. Пусть заданы 2 числовых множества X и Y.Говорят, что на множестве X задана функция f(x), если ∀ x X ставится в соответствие по определенному правилу(закону) единственное значение y Y. Тогда множество Х называется областью определения функции, а множество Y-областью значений функции. Значение х называется аргументом(независимой переменной), а y-функцией(зависимой переменной). Наиболее распространены следующие способы задания функции: а)аналитический(формульный) Заключается в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. б)табличный При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х ставится в соответствие число Y. в)графический  Заключается в том, что вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). г)словесный Функция задается с помощью словесной формулировки. Функция называется элементарной, если она образована из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень. Основными элементарными функциями являются следующие:

1)  степенная функция;

2)  показательная функция;

3)  логарифмическая функция;

4)  тригонометрические функции;

5)  обратные тригонометрические функции.

Функция называется алгебраической, если она образована из независимой переменной x с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведение в степень с рациональным показателем.

Функция называется трансцендентной, если она не является алгебраической.

Алгебраическая функция называется иррациональной, если она содержит операцию извлечение корня.

Функция называется рациональной, если она является алгебраической и не содержит корней независимой переменной.

Простейшей рациональной функцией является многочлен вида

,

где – числовые коэффициенты, х – независимая переменная, n – целое положительное число.

Любую рациональную функцию можно представить в виде отношения двух многочленов

,

где , – числовые коэффициенты, m – целое положительное число.

3.Окрестность точки. Предел последовательности. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса (без доказательства). Определение предела функции по Гейне.

Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

-окрестностью точки называется интервал длиной 2 с центром в этой точке.

В математическом анализе обычно рассматривается -окрестность точки , которая не содержит точку (рис. 4).

Кратко записывается

или .

***********************************************************

Точка называется предельной, если любая, сколь угодно малая, ее окрестность содержит бесконечное множество точек этого множества. Из любого бесконечного множества точек можно выбрать бесконечное счетное множество, т.е. последовательность .

Определение предела последовательности. Число b называется пределом последовательности ( ), если для любого, сколь угодно малого, положительного  существует такое положительное число N, что если номер члена последовательности n > N, то принадлежит -окрестности числа b (  ).

Теорема Больцано-Коши (без доказательства). Для того, чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого  > 0 существовало N()> 0 такое, что если n > N, m > N, то .

Теорема Вейерштрасса (без доказательства). Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.

Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей), если для любого n  N ( ).