Первый замечательный предел
Теорема о первом замечательном пределе.
Для
любой бесконечно малой функции
предел отношения
равен единице, т. е.
.
Следствия из первого замечательного предела:
1.
=1=
2.
=1
3.
=1
9.Второй замечательный предел, его обоснование.
,
где e = 2,718281828… иррациональное число.
Второй замечательный предел может быть записан в следующем виде
,
где
непрерывная бесконечно малая функция.
Значение любой бесконечно малой функции (х) при конкретном значении х удовлетворяет неравенству:
,
где n подходящее достаточно большое число.
.
Данное число е,
являясь основанием экспоненциальной
функции
,
имеет большое значение в математике и
естественных науках.
Второй замечательный предел может быть использован при раскрытии неопределенностей типа , но не любого вида, а только в том случае, когда добавка к единице (х) и степень находятся в строго определенном соотношении. К единице должна прибавляться бесконечно малая функция (величина), а степень должна являться обратной к этой функции (величине).
Следствия из второго замечательного предела:
=1
3.
=
=ln
a
=1
=
10.Сравнение бесконечно малых функций.
Сравнение бесконечно малых функций
Сравнить
бесконечно малые функции
и
значит найти предел их отношения
.
Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует.
Теорема. Предел отношения бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями, т. е.
,
где
Сравнение
бесконечно малых функций
Пусть
и
-бесконечно
малые при
+
=0
1.если
=k,
то
и
-функции
первого порядка
2.если k=1,
то
и
-эквивалентные
при
3.если
=0,
то
4.если
=k,
то
k-ого
при
11.Непрерывность функции в точке и на отрезке. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.
12.Свойства непрерывных функций.
Свойство 1. Функция y = f(x), непрерывная на отрезке [a, b], принимает свое наибольшее M и наименьшее m значения на этом отрезке.
Свойство 2. Функция непрерывная на отрезке хотя бы один раз принимает любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями.
Свойство 3. Если непрерывная функция в граничных точках отрезка принимает значения противоположных знаков, то она на этом отрезке хотя бы один раз обращается в нуль.
Свойство
4. Если
функция y
= f(u)
непрерывна
в точке
,
а функция u
= φ
(u)
непрерывна в точке
,
то сложная функция
является непрерывной в точке
.