4.5.7. Статистические решения

После оптимального фильтра выходной сигнал W (t) в индикаторах поступает на ограничитель (см. рис. 91), пред­ставляющий собой пороговое устройство. В случае превыше­ния им порога обнаружения W ₀ принимается решение, что в нем содержится полезный сигнал X(t), являющийся откли­ком на входное воздействие Q (t). В противном случае счи­тается, что W (t) является реакцией оптимального фильтра на помеху  (t) . В соответствии с основным постулатом метрологии результат измерения (а при измерениях по шкале порядка результатом измерения служит решение) является случайным. Возникает вопрос, какова вероятность правиль­ного и неправильного решения?

Ответ на этот вопрос дает теория статистических решений.

Рассмотрим графическую интерпретацию ситуаций, кото­рые возникают в процессе принятия решения.

На рис. 96 построены графики плотности распределения вероятности сигнала на выходе оптимального фильтра при

наличии в нем отклика на полезный входной сигнал — p₁ (W) и при его отсутствии – р₀(W). В случае превышения сигналом W(t₀) порогового значения W ₀ считается, что он подчиняется закону распределения вероятности с плотностью p₁(W). Ве­роятность р₀ того, что такой сигнал окажется в интервале значений [W ₀ ; ∞] , равна (см. разд. 2.2) :

Она называется вероятностью правильного обнаружения. На рис. 96 площадь, равная вероятности правильного обнаруже­ния, заштрихована штриховкой, перпендикулярной оси W. Может однако случиться, что. в момент времени t₀ сигнал на выходе оптимального фильтра, содержащий отклик на полез­ный входной сигнал, примет значение, меньшее W_0. Тогда будет принято неправильное решение о том, что "полезного сигнала на входе оптимального фильтра нет. Вероятность такого неправильного решения, называемая вероятностью ошибки второго рода (см. разд. 2.6.2),

На рис. 96 площадь, равная вероятности ошибки второго рода, заштрихована двойной косой штриховкой.

Если в сигнале на выходе оптимального фильтра нет от­клика на полезный входной сигнал, то он подчиняется зако­ну распределения вероятности с плотностью р₀ (W). В случае превышения таким сигналом в момент времени t₀ порогового значения W ₀ будет принято ошибочное решение о том, что полезный сигнал на входе оптимального фильтра есть. Вероят­ность такой ошибки первого рода

На рис. 96 площадь, равная вероятности ошибки первого рода, заштрихована штриховкой, параллельной оси W. Вероятность правильного решения о том, что полезного сигнала на входе оптимального фильтра нет, принимаемого при W (t₀) < W ₀ ,

Соответствующая площадь на рис.96 заштрихована косой штриховкой.

При всех обстоятельствах

Анализ рассмотренных ситуаций показывает, что при уменьшении порога обнаружения W₀ увеличивается вероят­ность правильного обнаружения Р₀ и уменьшается вероят­ность ошибки второго рода Р_II, но одновременно растет ве­роятность ошибки первого рода P_I и уменьшается вероят­ность правильного решения об отсутствии полезного сигна­ла Р_III . При увеличении порога обнаружения W₀, наоборот, ве­роятность правильного решения об отсутствии полезного сигнала Р_III увеличивается, а вероятность ошибки первого рода P_I уменьшается, но растет вероятность ошибки второго рода Р_II и уменьшается вероятность правильного обнаружения Р₀ . При столь противоречивых тенденциях выбор оптималь­ного значения порога обнаружения W_НП должен производить­ся на основе какого-либо критерия.

Критерий Неймана — Пирсона. Простей­шим критерием является требование обеспечить заданную вероятность ошибки первого рода (иногда ее называют ве­роятностью ложной тревоги). Согласно этому критерию, называемому критерием Неймана —Пирсона, значение поро­га обнаружения W_НП определяется из уравнения

P_I = p₀ (W) dW ,

где вероятность ошибки первого рода P_I является заданной. Критерий Неймана — Пирсона широко применяется на эта­пе проектирования средств измерений, так как не требует знания p₁ (W) в реальных условиях эксплуатации.

Пример 47. Реакция оптимального фильтра на помеху подчиняется нормированному нормальному закону распределения вероятности. Установить значение порога обнаружения по критерию Неймана — Пир­сона при заданной вероятности ложной тревоги Р_I = 0,1.

Решение. 1. Согласно условию

Критерии, приводящие к отношению правдоподобия. Обозначим через P_N вероятность то­го, что сигнал на выходе оптимального фильтра представляет собой только реакцию на помеху, а через P_X+N — вероятность того, что в нем содержится еще и отклик на полезный входной сигнал. Тогда вероятность ошибочного решения

Естественно, что условный „идеальный наблюдатель", прини­мающий решения, либо вообще не должен совершать ошибок, либо должен свести до минимума их вероятность. Поэтому критерий

называется критерием идеального наблюдателя. Он является частным случаем критерия минимума среднего риска, в ко­тором учитывается значимость или стоимость ошибок каж­дого вида:

Заменяя P_I на 1 — P₀ и выполняя преобразования, тот и другой критерии можно представить в общем виде:

Последнее выражение минимизируется при

что вполне понятно, так как вероятность правильного обнару­жения желательно иметь возможно большую, а вероятность ложной тревоги возможно меньшую.

Полученное выражение может рассматриваться самостоя­тельно и называется критерием взвешенной (с помощью ) комбинации (из двух слагаемых).

Для того, чтобы вывести из критерия взвешенной комби­нации значение W_opt введем в рассмотрение функцию решения

с помощью, которой выражения для вероятности правильного обнаружения и вероятности ложной тревоги запишутся в виде:

где значения интегралов на участке изменения переменной от — ∞ до неоптимального пока еще порога W₀ равны нулю.

Критерий взвешенной комбинации можно тогда представить в виде

p₀ (W) F(W) ( - ) dW = max,

где  = называется отношением правдоподобия.

В подынтегральном выражении с порогом обнаружения связа­на только функция решения. Следовательно, максимизиро­вать интеграл можно только за счет выбора этой функции. Но она имеет всего два значения: 0 и 1. Поэтому поступим следующим образом. Принимая во внимание, что плотность распределения вероятности p₀ (W) всегда положительна, будем придавать функции решения F(W) значение 0, если раз­ность  —  отрицательная, и значение 1, если эта разность положительная. В этом случае, очевидно , значение интеграла

будет максимальным, а оптималь­ное правило решения запишется в виде

0 при 

F_opt (W) 

1 при 

Дальнейшее зависит от того, что представляет собой отноше­ние правдоподобия. С одной сто­роны; как отношение двух плотностей вероятности оно не может быть отрицательным. С другой стороны; конкретный его вид зависит от законов распределе­ния вероятности сигнала на выходе оптимального фильтра при наличии и при отсутствии в нем отклика на полезный входной сигнал. Таким образом, в отличие от синтеза оп­тимального порога обнаружения по критерию Неймана — Пирсона здесь требуется знание р₁ (W) в реальных условиях эксплуатации. На практика обычно корректируют порог по мере накопления необхо­димых сведений, либо задаются мо­делью сигнала на этапе проекти- рования средства измерений.

Пример 48. Реакция оптимального фильтра на помеху подчиняется нормированному нормальному закону распределения вероятности, а от­клик на полезный входной сигнал равен 1. Определить оптимальный порог обнаружения при заданном значении у.

Решение. Отношение правдоподобия

График этой функции построен на рис. 97, а. При   оптимальная функ­ция решения F_opt (W) = 0, и принимается решение, что полезного сигнала нет. При  >  Оптимальная функция решения F_opt(W) = 1 принимается решение, что полезный сигнал есть (см. рис. 97, б) : Отсюда

Теория статистических решений используется также при конт­роле.

* В примерах 24. . .28 предполагается, что остальными факторами, влияющими на результат измерения, можно пренебречь.