При решении обратной задачи по известной |
|
зависимости ускорения от времени |
, |
a a t
находят положение материальной точки на траектории в любой момент времени.
Для решения обратной задачи нужно задать в некоторый начальный момент времени tО начальные
|
условия: |
r0 |
- |
радиус-вектор |
|
- |
скорость точки |
v0 . |
Нахождение скорости
Из определения ускорения имеем |
dv a t dt |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
v(t) |
|
|
|
|
|
|
t |
|
||
Проинтегрируем |
|
d v |
a (t) dt |
|
v(t) v0 |
a(t) dt |
|||||
|
|
|
или |
|
|
t |
0 |
|
|||
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Получим |
v(t) v0 |
a (t) dt |
(1) |
||
|
|
|
t 0 |
|
|
Нахождение положения точки
Из определения скорости следует, что элементарное
перемещение равно dr v t dt
Подставим сюда полученное равенство (1) и
проинтегрируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r(t) |
|
t |
|
|
|
|
t |
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
d r |
|
|
|
v0 |
|
|
a (t)dt |
|
|||
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
t |
0 |
|
|
||
|
|
r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
dt |
||
r (t) r0 |
|
|
|
|
|
a (t)dt |
|||||||
|
|
v |
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
t0 |
|
|
||
Равномерное движение
Рассмотрим частные случаи.
1. Равномерное прямолинейное движение
|
(ускорение |
|
a |
= 0 |
и t0 = 0). |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
r(t) r0 |
v |
0dt r0 |
v0 t |
|
|||
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
Перейдём от векторной формы записи уравнений к
скалярной: |
x(t) x0 |
v0x t |
|
Равноускоренное движение
2. Равнопеременное прямолинейное движение
|
|
(ускорение |
a |
|
= const |
и t0 = 0). |
||||||||||
Тогда |
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a t dt |
|||
|
r(t) r0 |
|
v0 |
|
|
a dt dt r0 |
|
|
v0 |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|||||||
|
|
r0 |
|
v 0 t |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полученное выражение, спроецированное на ось x имеет вид:
x(t) x 0 v0x t a x2t 2
1.3. Тангенциальное и нормальное ускорения
Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории, имея различную скорость в разных точках траектории.
Скорость при криволинейном движении может изменяться и по модулю и по направлению.
Эти изменения можно оценивать раздельно.
v
a
v
a
Вектор ускорения |
a можно разложить на два |
направления: касательное к траектории и |
|
перпендикулярное к ней ( т.е. по радиусу к центру |
|
окружности). |
|
Составляющие на эти направления носят названия |
|
тангенциального ускорения a и нормального |
|
ускорений an |
. |
|
a a τ a n |
Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю.
Модуль тангенциального ускорения равен модулю первой производной от скорости по времени.
a τ dvdt 
Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
Модуль нормального ускорения равен:
V2 an R
Нормальное ускорение направлено перпендикулярно скорости по радиусу к центру кривизны траектории.