34. .Во сколько раз надо увеличить скорость вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тела на экваторе весили вдвое меньше, чем на полюсе? Считайте, что форма Земли не изменилась бы.

Тела на экваторе участвуют в суточном вращении Земли, при этом их центростремительное ускорение

,

направлено к центру Земли и вес тела равен N = m(g – a). Здесь  и T – угловая скорость и период суточного вращения Земли. Согласно условию , откуда .

Подставив числовые значения, получим T = 2 ч. Таким образом, чтобы тела на экваторе весили вдвое меньше, чем на полюсе, скорость вращения Земли необходимо увеличить в 12 раз.

Заметим, что на самом деле форма столь быстро вращающейся планеты сильно отличалась бы от сферической – планета была бы сильно сплюснута у полюсов.

35. Во сколько раз следует укоротить сутки, чтобы на экваторе ощущалась невесомость? Не будет ли каких-либо неприятных побочных эффектов от этого?

Невесомость на экваторе будет наблюдаться при a = g, где a – центростремительное ускорение точек на экваторе. Именно при таком ускорении тела на экваторе будут фактически находиться в состоянии свободного падения. Поскольку

,

R – радиус Земли, T – продолжительность суток,

.

То есть сутки следует укоротить в

раз,

T_o = 24 ч.

Подстановка дает T = 5080 c = 1 ч 25 мин и n = 17.

«Побочные эффекты» будут ужасающие! Молекулы атмосферы из-за трения о Землю будут разгоняться, и даже при гораздо меньшем увеличении скорости вращения Земли значительная часть получит возможность преодолеть земное тяготение и улететь в окружающее космическое пространство. Земля начнет быстро терять атмосферу. При наступлении на экваторе невесомости этот процесс станет катастрофически быстрым – возникнут могучие воздушные потоки от полярных областей к экватору, а от экватора – в открытый космос.

36. Дві нейтронні зірки обертаються навколо загального центру мас по круговій орбіті з періодом 7 годин. На якій відстані вони знаходяться, якщо їх маси більше маси Сонця в 1,4 разу? Маса Сонця М_= 2·10³⁰ кг.

Зірки знаходяться на відстані 2R один від одного. Fграв. = G З іншого боку, F = = 3  106 м, менший, ніж розміри Землі.

ВИСОКИЙ РІВЕНЬ

1. Підлетівши до незнайомої планети, космічний човен, вимкнувши двигуни, вийшов на колову орбіту, і космонавти приступили до попередніх досліджень. Як, використовуючи тільки годинник, вони можуть визначити середню густину речовини планети?

Розв’язок:

Якщо космічний човен рухається навколо планети із вимкнутими двигунами, то єдиною силою, що діє на нього, є сила притягання до планети:

,

де - гравітаційна стала,

- маса планети,

- маса човна

- відстань між човном та центром планети.

При незначній висоті польоту можна вважати рівним радіусу планети (ми вважаємо, що вона за формою близька до кулі).

Виразимо масу планети через радіус і середню густину :

,

і, підставивши отриманий вираз для в попередню формулу, отримаємо:

.

Оскільки човен рухається по коловій орбіті, на нього діє доцентрова сила, яку можна записати у вигляді:

,

де,

- лінійна

- кутова швидкості руху космічного човна,

- період його обертання навколо планети.

Через те, що роль доцентрової сили відіграє сила гравітаційного притягання, можна прирівняти праві частини двох останніх виразів і отримати густину:

.

2. . Космічний корабель спрямовано так, що, звільнившись від земного тяжіння, він почав вільно падати на Сонце практично по прямій лінії. Скільки днів триватиме це падіння? Розв’язок: Падіння вздовж радіуса на Сонце з відстані r можна розглядати як рух по максимально стислому еліпсу, велика піввісь якого а = r / 2. Тоді час падіння t, що дорівнює половині орбітального періоду Т на цій орбіті, згідно з третім законом Кеплера, становить t = Т/2 =  a³/GM_ = /2^3/2r³_/GM_ = Т_ · 2^-5/2, де Т_ = 2 r³_/GM_ = 1 рік. Отже t = 1 рік · 2^-5/2 = 65 діб.

3. Як зміниться тривалість року на Землі, коли Сонце перетвориться на білий карлик із масою M_БК = 0,6 М _?

Розв’язок:

Нехай M_ — сучасна маса Сонця, а М_БК його маса після перетворення у білий карлик. Оскільки це перетворення відбувається поступово, шляхом повільної втрати газу на стадії червоного гіганта, то орбіта Землі залишиться коловою з сучасним моментом обертання (адже дія сил на Землю не зміниться). Маса Землі незмінна, тому зберігається питомий момент обертання, який дорівнює rV, де V = GM/r — орбітальна швидкість, М — маса зорі, r — радіус орбіти.

З умови 1 а.о. GM_/1 а.о. = r GM_бк/r

знайдемо радіус нової орбіти Землі: r = 1 а.о. (М_/М_бк). Тоді з третього закону Кеплера отримаємо новий орбітальний період Землі

Т = (r/1 a.о.)^3/2 (M_бк/ M_)^-1/2 років = (M_ / M _БК)²

Для М_бк = 0,6М_ отримаємо Т= 2,8 сучасного року.