9. Скільки має тривати доба на Землі для того, щоб на екваторі нашої планети всі тіла були в стані невагомості?

Розв’язання:

Для стану невагомості необхідно, щоб прискорення вільного падіння дорівнювало доцентровому прискоренню:

,

де - кутова швидкість обертання Землі навколо осі,

Т- тривалість доби.

Із цих формул знаходимо:

Це формула для періоду коливань математичного маятника, у якого довжина дорівнює радіусу Землі.

Підставляючи числові дані знаходимо: Т=5000 с ≈1,4 години.

10. Що яскравіше освітлює Землю: Сіріус (-1,5m ) чи всі зорі від 5m до 6m, яких на півсфері нічного неба біля 1600?

Розв’язання:

Приймемо середню яскравість вказаних слабких зірок за m₁=5,5^m. Тоді їх сумарний блиск відповідає одній зорі, яка у 1600 разів яскравіша за m₁, тобто у формулі . Підставимо значення і отримаємо: Бачимо, що зорі від 5^m до 6^m освітлюють Землю у 2,5 рази яскравіше, ніж один Сіріус.

11. З усієї речовини Землі виготовлено дроти завдожки : а) до Сонця; б) до найближчої до Сонця зорі α Центавра (1,3 пк); в) до Туманності Андромеди (7·105пк). Знайдіть діаметри цих дротів

Розв’язання:

Об’єм кулі (Землі) дорівнює , а об’єм циліндра (дроту) – , де L – довжина циліндра, а d – його діаметр. Рівняючи ці об’єми, одержимо, що діаметр дроту становить:

Підставляючи в одержану формулу значення відстані від Землі до Сонця (1,5·10⁸ км), до зорі α Центавра (1,3 пк=1,3 ·3,1·10¹³ км) і до Туманності Андромеди (7·10⁵ пк), знайдемо, що діаметри дротів дорівнюють 100 км, 200 м і 25 см відповідно. Задача справді нескладна, але результат дивний: дроти виявилися несподівано товстими. Справа тут у різній залежності об'єму від діаметра — у кубічній для кулі та квадратичній для циліндра, а підкореневий вираз у формулі для діаметра дроту залежить від куба радіуса Землі та першого степеня довжини дроту.

Ця задача наочно демонструє вплив показника степеня на залежність результату від певного параметра й водночас дозволяє порівняти значення трьох характерних відстаней у Всесвіті. її автор — відомий астрофізик-теоретик академік В. В. Соболєв.

 

12. Мала планета Веста обертається навколо Сонця по орбіті з великою піввіссю а=2,362 а.о. і ексцентриситетом е=0,089. Визначити сидеричний і синодичний періоди обертання Вести, її середню швидкість орбітального руху, перигелійну і афелійну відстані та відношення швидкостей в перигелії і афелії орбіти.

Розв’язання:

Знаходимо, беручи до уваги формулу та рівняння ) для зовнішніх планет, сидеричний і синодичний періоди обертання Вести:

;

.

Обчислюємо за формулою середню лінійну швидкість, враховуючи при цьому, що ,

.

Визначаємо за рівняннями , перигелійну і афелійну відстані:

Згідно з формулою відношення швидкостей Вести в перигелії і афелії орбіти

13. Мандрівник визначив, що Полярна зоря знаходиться на висоті 72⁰ над горизонтом. Скільки приблизно кілометрів до Північного полюса Землі? Які причини впливають на точність отриманого результату? Оцініть його можливу похибку.

Розв’язок.

 Згідно з теоремою про висоту полюса географічна широта спостерігача дорівнює висоті північного полюса світу, яка в даній задачі може бути прийнята рівною висоті Полярної зорі, тобто 72⁰. Тоді віддаль до Північного полюса Землі визначається довжиною дуги земного меридіана 18⁰ і складає приблизно 111х18 = 1998км ≈ 2тис.км.

Так як Полярна зоря віддалена від полюса світу майже на 1⁰ (точніше близько 52’), то саме така максимальна похибка може бути допущена у визначенні широти, якщо не використовуються поправки, що враховують положення Полярної відносно полюса в момент вимірювання. Похибка у визначенні віддалі в цьому випадку може сягати приблизно ±100км.

Безумовно, на точність отриманого значення впливає точність самого вимірювання висоти Полярної, однак при використанні оптичних інструментів (наприклад, теодоліта), ця похибка буде на порядок меншою зазначеної вище.

14.  Два цілком однакових поїзди рухаються назустріч один одному вздовж географічної паралелі. Який з них важчий і чому? Оцініть різницю у вазі при умові, що маса кожного поїзда 3000т, швидкість 72км/год, а широта географічної паралелі 60⁰.

Розв’язок. 

На вагу поїзда впливає його обертання навколо земної осі по коловій орбіті радіуса r = Rcosφ, де R – радіус Землі, φ – географічна широта:

P = m(g-v²/r),

g – прискорення вільного падіння, обумовлене гравітацією, m – маса поїзда. Швидкості обертання поїздів навколо земної осі будуть відрізнятися: v_с = v₀+v_п для поїзда, що рухається на схід, в напрямку обертання Землі, і v_з = v₀-v_п для поїзда, що рухається на захід (v₀ – швидкість обертання точки земної поверхні, v_п – швидкість руху поїзда). Різниця у вазі поїздів (з урахуванням математичного спрощення)

ΔP = P_з - P_с = m/r(v_с² - v_з²) = 4m v₀ v_п / r.

Враховуючи, що v₀ = 2πr/T , маємо ΔP = 8 π m v_п / T , де Т – період обертання Землі навколо осі (1 доба або 86 400 с). Виконавши обчислення, знайдемо:

ΔP = 8х3,14х3х10⁶х20/86400 = 17х10³ Н ≈ 17 кН.

15. Припустимо, що Сонце тільки-но зайшло де-небудь на рівнині поблизу екватора. З якої висоти треба було б вести спостереження в цьому місці, щоб у цей самий момент бачити Сонце, яке своїм нижнім краєм розміщене на лінії горизонту. Кутовий діаметр сонячного диска прийняти рівним 32”.

Розв’язок. 

З рисунка з урахуванням кутових розмірів сонячного диска маємо:

R/(R+H)=cos(32”),

звідки

H =(1-cos(32”))/cos(32”)хR= 0,276км= 276м.

Примітка: (екваторіальний радіус Землі R при розрахунках прийнято рівним 6378км).

16. Дві нейтронні зорі обертаються навколо спільного центру мас по коловій орбіті з періодом 7 годин. На якій віддалі вони знаходяться одна від одної, якщо маса кожної з них більша за масу Сонця (2х10³⁰кг) в 1,4 рази.

Розв’язок. 

Радіус орбіти відносно центра мас системи R=0,5a, де a – віддаль між зорями. Роль доцентрової сили відіграє сила гравітаційного притягання, тому

mv²/R=Gm²/(2R)²,

де m- маса зорі, v – швидкість руху по орбіті відносно центра мас. Виражаючи швидкість через період обертання v=2πR/T, після підстановки, спрощення та розв’язання відносно R отримаємо:

R=[GmT²/16π²]^1/3 або a=2R=[GmT²/2π²]^1/3.

2-й спосіб. Запишемо узагальнений 3-й закон Кеплера для відносного руху зорі в подвійній системі:

T²/a³х(m+m)=4 π²/G, звідки a=[GmT²/2π²]^1/3.

Виконавши підрахунки для перших двох способів, отримаємо a = 1,82х10⁹м=1,82млн.км.

3-й спосіб. Запишемо узагальнений 3-й закон Кеплера для подвійної системи у вигляді:

T²х(m+m)= a³,

де маса виражена в масах Сонця, період обертання – в земних роках, а велика піввісь орбіти в астрономічних одиницях (вираз одержується шляхом порівняння системи “зоря-зоря” з системою “Сонце-Земля”). Тоді

a=[T²х2хm]^1/3 = [(7/24/365,25)х2х1,4]^1/3 = 0,012а.о.=1,82млн.км.

17. Відомо, що вільні електрони розсіюють випромінювання практично рівномірно у всі боки як металеві кульки з радіусом 4.6*10^–15 м, а важчі частинки (атоми, іони, протони) розсіюють випромінювання значно гірше. Вважаючи, що корона складається з чистого водню, атмосферний тиск у нижніх шарах сонячної корони складає 0.003 Па, а середня температура корони 1 000 000 K, оцініть зоряну величину Сонця під час повної фазі сонячного затемнення на Землі.

Розв’язок.

Температура висока, тому газ повністю іонізований. Основний внесок у світимість корони вносять близькі до Сонця ділянки. Вважаючи, що прискорення вільного падіння з висотою не змінюється, принаймні у нижніх шарах корони, тиск рівний:

тут - маса речовини у короні, що знаходиться у стовпі площею 1 м². З високою точністю це є маса протонів. У цій же зоні рівно стільки ж електронів , які перехоплюють випромінювання, що йде знизу. Загальна площа всіх цих електронів

Тобто, електрони перехоплюють і розсіюють саме цю частку випромінювання Сонця, і тому

18. Яким має бути розмір гіпотетичної міжзоряної хмари молекулярного водню з густиною, рівною густині повітря за нормальних умов і температурою 1000 К, щоб з неї утворилася зоря масою 0.2 маси Сонця. Оцініть час стиснення хмари в зорю.

Розв’язок.

Для цього потрібно визначити, при якому радіусі хмари, у ній всередині буде маса, рівна 0.2 маси Сонця:

У оригінальному тексті задачі пропонується також визначити розмір хмари, при якому воно стане стискуватись під дією власної гравітації, а не буде розсіюватись. Для цього теплова швидкість його частинок не повинна бути більшою, ніж друга космічна швидкість на краю. Тобто,

З цього виразу отримаємо Однак, з такої хмари вийде дуже маленька зірочка, лише вдвічі більша, ніж Земля, тому це обмеження не грає суттєвої ролі.

Для оцінки часу стиснення, порахуємо час, за який молекула на краю хмари долетить до її середини, за умови просто вільного падіння, навіть нехтуючи зміною прискорення вільного падіння з часом. Отже,

19. Кулясте зоряне скупчення на нашому небі має блиск +4.5 і видимий діаметр 25’. Відстань до скупчення 3 кпк. Вважаючи, що скупчення складається виключно з зірок типу Сонця, що рівномірно займають його об’єм, а поглинання світла немає, оцініть яскравість на нічному боці планети, що обертається довкола зірки поблизу центра скупчення. Порівняйте з освітленістю на Землі при повному Місяці.

Розв’язок.

Радіус скупчення

Його об’єм

З відстані 3 кпк зірка типу нашого Сонця буде мати зоряну величину

Тому всього зірок у скупченні (m₀ – зоряна величина всього скупчення).

А їх концентрація

Кількість зірок у сферичній оболонці

Зоряна величина окремої зірки

Освітленість від неї

Освітленість від усіх зірок оболонки

Освітленість від усіх зірок скупчення є сума всіх освітленостей від усіх зірок скупчення.

Повна зоряна величина

Приблизно в 60 разів темніше, ніж при повному Місяці на Землі.