36. 21 Березня в момент справжнього полудня тінь стовпця, який стоїть вертикально дорівнювала довжині тіні. На якій широті це було?

Розв’язок.

Оскільки довжина тіні рівна висоті стовпця, то висота Сонця дорівнює . Враховуючи що 21 березня день весняного рівнодення . . .

37. 22 Вересня о 15 годині за місцевим часом тінь від середньої вертикальної рами вікна падає перпендикулярно до площини вікна. З'ясуйте, як зорієнтоване це вікно відносно сторін світу.

. Насамперед з'ясуємо, про який саме місцевий час ідеться в умові задачі. Якщо, указуючи час події, не уточнюють, про який саме час ідеться, то мають на увазі місцевий середній сонячний час. Однак зрозуміло, що напрямок тіні визначається істинним сонячним часом, тобто положенням реального, а не середнього Сонця. Але найбільша різниця між істинним і середнім сонячним часом не перевищує 20 хв. Із цього випливає, що, нехтуючи різницю між цими двома способами вимірювання часу, ми зробимо похибку, яка не перевищує 5°. Тобто, висловлюючись мовою моряків, ми будемо шукати розв'язання нашої задачі з точністю до половини румба (румб — це кут, який дорівнює 1/32 повного кута, або приблизно 11°).

Дата, наведена в умові задачі, близька до моменту осіннього рівнодення, тобто схилення Сонця близьке до 0°. Інакше кажучи, вважатимемо, що Сонце знаходиться на небесному екваторі. Аналіз місцевого часу дозволяє визначити годинний кут Сонця. Оскільки початок сонячної доби збігається з нижньою кульмінацією Сонця, то о 15 годині його годинний кут і дорівнює 3^h, або 45° . А для того щоб визначити орієнтацію вікна, нам треба встановити азимут Сонця А в даний момент. Годинний кут відлічується вздовж небесного екватора, азимут — уздовж математичного горизонту. У свою чергу, те, як розташовані відносно один одного небесний екватор і математичний горизонт, залежить від широти місця, де ми знаходимося. Із відповідних визначень випливає, що кут між площинами цих великих кіл на небесній сфері доповнює широту місця спостереження до 90° . Тому на екваторі Землі небесний екватор розташований вертикально, але він завжди проходить через точки сходу та заходу. Отже, тінь від рами буде спрямована на схід, а вікно буде зорієнтоване на захід. Якщо ж ми наближатимемося до полюса, то кут між небесним екватором і горизонтом зменшуватиметься, наближаючись до нуля. Відповідно годинний кут та азимут зближуватимуться, тобто значення азимута буде наближатися до 45° . Орієнтація вікна наближатиметься до напрямку на південний захід. Зрозуміло, що на проміжних (помірних) широтах орієнтація вікна перебуватиме десь поміж заходом і південним заходом.

Вище було подано розв'язання задачі на якісному рівні, для якого достатньо було лише визначень відповідних основних ліній на небесній сфері та координат в горизонтальній та першій екваторіальній системах координат. Для кількісного ж розв'язання задачі потрібні вже дві основні формули сферичної тригонометрії — формули косинусів і синусів. Слід розглянути так званий паралактичний трикутник ZPS: «зеніт» — «полюс світу» — «світило» (у даному разі Сонце). Його сторони: ZР — доповнення широти місця спостереження до 90° , РS — доповнення схилення до 90° і ZS — зенітна відстань, кут при вершині Z доповнює азимут до 180° , а кут при вершині Р — це годинний кут. Тому формула косинусів (яка, до речі, може бути одержана як скалярний добуток відповідних одиничних векторів) з урахуванням того, що схилення дорівнює 0, дає:

де (φ — географічна широта. А формула синусів (що природно узагальнює формулу синусів плоскої тригонометрії) дасть значення синуса азимута:

Виконавши обчислення, наприклад для широти 50°, одержимо значення азимута Сонця А = 52,5° . Відразу ж зауважимо, що чверть, у якій лежить значення азимута, ми вже фактично визначили на попередньому етапі розв'язання задачі. У загальному ж випадку треба за відповідною формулою обчислити ще й косинус азимута, а потім, аналізуючи знаки синуса та косинуса азимута, визначити, у якій чверті знаходиться його значення.

Нарешті, відзначимо ще таке. По-перше, широта 50° - це широта Харкова. Але більшість обласних центрів України розташовані в широтній зоні 50° ±2° . Тому, ураховуючи сказане про точність нашого розв'язання, відповідь стосується й цих міст. Для одержання точнішої відповіді треба врахувати точніше значення їхньої широти та значення рівняння часу в день 22 вересня. По-друге, хоча розглядалася широта, близька до середньої між широтами екватора та полюса, значення азимута тіні ще мало відрізняється від 45°.