Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы

n рет Бернулли тәжірибесін жүргізгенде А оқиғасының пайда болу саны α мен β-ның арасында жату ықтималдығын P(a ) арқылы белгілелік. Алдынғы парагрофтардағы белгілеулерді сақталық. Р(А)р, Р( )=g, Ф(х) пен φ(х)-қалыпты үлестірім функциясы мен ықтималдық тығыздығы.

Т е о р е м а . Егер α мен β, n→∞ , және болатындай өзгерсе , онда

P(a ) - , (22)

Мұндағы

.

Д ә л е л д е у. Логикалық теоремедан . (23) Дәлелдегелі отырған теореманың жалпылық құндылығын жоймай, α мен β теріс емес бүтін сандар деп ұйғаралық. Сонда ықтималдықтарды қосу теоремасы бойынша (23) теңдігінен P(a ) . (24)

Ф(х) және φ(х) функцияларының анықтамасы бойынша, сондай-ақ оның қасиеттеріне сүйеніп, сонымен қатар функцияның шеткі өсімшесі туралы теореманы қолдансақ,

-

сонда

( - )

Кез келгне оң ε санын сайлап аламыз. Теореманың шарты бойынша

сондықтан

( - )≤ ≤ ( - )

Соңғы теңсіздіктерді m бойынша қоссақ, (23) қатысының сол жағындағы өрнектің - , айырымына қатынасы b шексіздікке ұмтылғанда бірге ұмтылатындығын көреміз, ал бұл- дәлелдегелі отырған теореманың қорытындысы.

Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы дәстүрлі түрде былай тұжырымдалады.

Т е о р е м а . Егер n рет тәуелсіз жүргізілген А оқиғасының пайда болу саны m және Р(А)=p6 (0<p<1) болса, онда n→∞ болғанда

(25)

теңдігі a мен b-ға қатысты бір қалыпты орындалады.

М ы с а л. M=1500, p=0.4 болғанда оқиғаның пайда болу саны 570 пне 630-дың арасында жату ықтималдығы қандай?

Ш е ш у і. Есептеулер жүргізелік: n=15006 p=0.4, g=1-p=0.6. np=600. Бізге P(570<m<630) ықтималдығын табу керек . Бұған (25) формуланы бірден қолдана алмаймыз, алдымен бір қатар түрлендірулер жүргізу керек;

P(570<m<630)=

P

Интегралды есептегенде кітаптың соңындағы таблицаны ескердік.

Прпактикада n сынақтарда А оқиғаның пайда болу ықтималдығы m₁ ретпен аз емес m₂ ретпен көп болмаған жағдайлар көп жолығып тұрады. Бұл ықтималдық Муавр және Лапластың интералдық формуласы арқылы табылады.

Теорема: Әр сынақта пайда болу ықтималдығы Р ға тең болван А оқиғаның n сынақтарда m₁ деп аз емес m₂ деп көп емес болуы ықтималдығы мына формуламен жуықтау есептеледі:

Бұнда

Ескерту. ф(х) функция тақ. Сондықтан ф(-х)=-ф(х₁) болады.

Лаплас функцясы ф(х) тең мәнінде ықтималдықтар теориясы оқулықтарында Лаплас теоремасы

түрінде жазылған. Мұнда

Мысалы: Мергеннің нысанға тигізу ықтималдығы 0,75. ол нысанға 100 рет атқанда нысанға тигізулер саны 70 пен 80 арасында болуы ықтималдығы табылсын.

Шешілуі: P=0.75; m₁=70; m₂=80;

Жауап:

2. Муавр және Лапластың теоремасының практикада қолданылуы

Статистикалық мәліметтерді өңдеу кезінде n сынақтарда А оқиғаның пайда болуы саны m ге оның жиілігі делінеді, ал W=m/n ге оның саластырмалы жиілігі делінеді. Практикады салыстырмалы жиіліктің теоретикалық әр сынақта пайда болуы ықтималдығынан ауытқу бірар ден кіші болуын табу керек болады. Яғни

Немесе

(2)-ні көбейтіп аламыз.

деп белгілісек

яғни

Мысал: Темір жол тармағында істеуші жұмысшылардың 25% ті орта мәліметі. 200000 темір жолшылар зерттегенде олардың арасында орта мәліметті балалары саны табылсын және табылған санының 200000 ға қатысының 25%-тен ауытқуы 1,6% тен аспауы ықтитмалдығы табылсын.

Шешілуі:

К-орта мәліметі бар жұмысшылар саны.

Жауап: 0,94