39. Производная и дифференциал неявно заданной функции

Если независимая переменная   и функция   связаны уравнением вида  , которое не разрешено относительно  , то функция   называется неявной функцией переменной  .

Если функция описывается уравнением y = f(x), где переменная y находится в левой части, а правая часть зависит только от аргумента x, то говорят, что функция задана в явном виде.

- задана в явном виде.

-  задана неявным образом.

для нахождения производной y'(x) неявно заданной функции нет необходимости преобразовывать ее в явную форму. Для этого, зная уравнение F(x, y) = 0, достаточно выполнить следующие действия:

Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной x, предполагая,  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции. При этом производная нуля (в правой части) также будет равна нулю.  Замечание: Если правая часть отлична от нуля, т.е. неявное уравнение имеет вид

то дифференцируем левую и правую части уравнения.

Решить полученное уравнение относительно производной  y'(x).

Дифференцирование функций, заданных неявно

Если функция задана уравнением у = f (x), разрешённым относительно y, то функция задана

в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F (х; у) = 0,

не разрешённого относительно у.

Всякую явно заданную функцию у = f (x) можно записать как неявно заданную уравнением f

(x) - у = 0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у +

2х + соs у - 1 = 0 или 2 y - х + у = 0).

Если неявная функция задана уравнением F (х; у) = 0, то для нахождения производной от у

по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно

продиффиринцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х и

полученное затем уравнение разрешить относительно у′.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример. Найти производную функции у, заданную уравнением

Решение: функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство . Из

полученного соотношения 3 + 3⋅ ⋅у′ - 3 (1⋅у + х⋅у′) = 0 следует, что у′ - ху′ = у – , т.е.

40. Производная функции, заданной параметрически

Предположим, что функциональная зависимость y  от x не задана непосредственно y= f(x) , а через промежуточную величину — t . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция   задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции   и   определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра t. Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что  , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной   выполним следующие преобразования:

Пример

Задание. Найти вторую производную   для функции   заданной параметрически.

Решение. Вначале находим первую производную   по формуле:

Производная функции y по переменной t равна:

производная x по t:

Тогда

Вторая производная равна

Ответ. 

формула производно параметрически заданной функции  , если   определены при   и существует обратная функция   для  , то говорят о параметрическом задании функции  .

При исследовании параметрически заданной функции иногда приходится находить ее производную по аргументу x.