22. Средняя квадратическая и средняя кубическая. Взаимосвязь средних степенных величин

В ряде случаев в эк. практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выражен­ного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (напр, для вычисления средней величины стороны n квадратных участ­ков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя куби­ческая (напр, при определении средней длины стороны кубов).

С

К простая является квадратным корнем из частного от делений суммы квадратов отдельных значений признака на их число: (10)

СК взвешенная рассчитывается по формуле: (11) где f – веса.

Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей общей формулы:

(4.15)

где при: k = –1 – получается средняя гармоническая;

k = 0 – средняя геометрическая;

k = 1 – средняя арифметическая;

k = 2 – средняя квадратическая;

k = 3 – средняя кубическая.

Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место следующая зависимость (для одного ряда распределения):

Это соотношение называется правилом мажорантности средних.

23 И 24. Понятие моды и медианы. Расчет моды для дискретного и интервального рядов распределения

Наряду с рассмотренными средними величинами в качестве статистических характеристик вариационных рядов распределения рассчитываются структурные средние – мода и медиана.

Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.

Медианой называют значение признака, приходящееся на середину упорядоченной (ранжированной) совокупности.

В интервальном ряду для определения моды и медианы используют следующие формулы:

- нижняя граница модального интервала

- величина модального интервала

- частота модального интервала

- частота следующая за модальным интервалом

- частота предшествующая модальному интервалу

- накопленная частота интервала предшествующая медианному интервалу

Медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот.

Пример.

Имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы:

№ группы	Заработная плата, ден.ед.	Число работников, чел.	Сумма накопленных частот
	500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 свыше 1000		- - -

Определить модальный размер и медианный интервал заработной платы.

Решение:Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Наибольшее число работников (70 человек) имеют заработную плату в интервале 700-80о ден.ед., который и является модальным.

ден.ед.

Модальный доход показывает, что большинство работников получали заработную плату в размере 780 ден.ед.

Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (200/2=100).

В графе «сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 700-800. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

ден.ед.

Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 785,7 ден.ед., а половина – выше этой суммы.