20.Основные методы. Дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения – это соотношение вида F(x₁,x₂,x₃,..,y,y′,y′′,...y⁽ⁿ⁾) = 0, связывающее независимые переменные x₁,x₂,x₃,... функцию y этих независимых переменных и ее производные до n-го порядка. При этом функция F определена и достаточное число раз дифференцируема в некоторой области изменения своих аргументов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это дифференциальные уравнения, в которых содержится только одна независимая переменная.

Дифференциальные уравнения в частных производных – это дифференциальные уравнения, в которых содержится две и более независимых переменных.

Если производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции, то выразить интеграл через элементарные функции удается не всегда. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

• явную зависимость функции от переменной.

Решение дифференциального уравнения – это функция y(x), определенная и достаточное число раз дифференцируемая в некоторой области, при подстановке которой в исходное уравнение получается тождество.

• неявную зависимость в виде уравнения типа Ф(y,x)=0 или системы уравнений;

Интеграл дифференциального уравнения – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.

• зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;

Решение дифференциального уравнения в квадратурах – это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

• решение может не выражается через элементарные функции;

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n. Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения – это соотношение вида y = y(x,C₁,C_2,C₃,...C_n), зависящее от n произвольных постоянных.

Общий интеграл дифференциального уравнения – это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C₁,C_2,C₃,...C_n) = 0.

Частное решение дифференциального уравнения – это общее решение при заданных значениях постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n.

Частный интеграл дифференциального уравнения – это общий интеграл при заданных значениях постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n.

21.Дифференциальные уравнения 1-го порядка интегрируемые в квадратурах.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется интегрируемым в квадратурах (или просто интегрируемым), если его общее решение может быть получено с помощью конечного числа элементарных (алгебраических) операций и квадратур. (Квадратурой называется операция отыскания первообразных.) Среди дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах, рассмотрим некоторые виды ДУ первого порядка.

 Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

22.Общее понятие дифференциальных уравнений высших порядков. Случаи понижения порядков.

Укажем некоторые виды дифференциальные уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Уравнение вида  . После n-кратного интегрирования получается общее решение

II. Уравнение не содержит искомой функции и её производных до порядка   включительно:

Порядок такого уравнения можно понизить на   единиц заменой  . Тогда уравнение примет вид

Из последнего уравнения, если это возможно, определяем  , а затем находим   из уравнения   k-кратным интегрированием.

III. Уравнение не содержит независимого переменного:

Подстановка   позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом   рассматривается как новая неизвестная функция от  . Все производные   выражаются через производные от новой неизвестной функции   по 

Подставив эти выражения вместо   в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)-го порядка.

IV. Уравнение  , однородное относительно аргументов  , т.е.

Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу подстановкой  , где   — новая неизвестная функция от  .

V. Уравнение, записанное в дифференциалах,

в котором функция   однородна относительно своих аргументов  , если считать   и   — первого измерения, а   и т.д. — измерения  . Тогда    будет иметь измерение  ,   – измерение   и т.д.

Для понижения порядка применятся подстановка  . В результате получается дифференциальное уравнение между   и  , не содержащее явно  , т. е допускающее понижение порядка не единицу (случай III).

23. Общее понятие о линейных дифференциальных уравнениях

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным, если оно имеет вид  , а коэффициенты   есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.

Если  , то уравнение  называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ), в противном случае – линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Когда коэффициенты   являются постоянными функциями (то есть, некоторыми числами), то соответствующие дифференциальные уравнения называют ЛОДУ с постоянными коэффициентами (если  ) или ЛНДУ с постоянными коэффициентами (при ненулевой f(x)).

Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида  .