Изолированные особые точки однозначного характера

     Тип особой точки z₀ функции определяется видом разложения f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z₀:

     1)   тогда z₀ - устранимая особая точка;

     2)   тогда z₀ - полюс порядка m;

     3)   и бесконечное число коэффициентов   отлично от нуля, тогда z₀ - существенно особая точка.

     Если z₀ - полюс порядка m, то   - аналитическая, 

17. Теорема Сухоцкого-Вейурштрасса.

Теорема Сухоцкого-Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу.

В ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек).

Формулировка:

Каково бы ни было > 0, в любой окрестности существенно особой точки, z₀ функции, ƒ(z) найдётся хотя бы одна точка, z₁, в которой значение функции, ƒ(z) отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на ɛ.

18. Вычеты, их вычисления и свойства.

Вычетом функции ƒ(z) в изолированной особой точке Z₀ называется число, характеризующий локальные свойства заданного.

    - вычет функции f(z) относительно изолированной особой точки z₀:

(в круге   нет других особых точек).

     Если  то

Таким образом, вычет функции ƒ(z) в изолированной особой точке Z₀,

Равен коэффициенту при ǀZ –Z₀ ǀ^-1 в лорановском разложении этой функции в точке Z₀. Отсюда, в частности, вытекает, что вычет в изолированной особой точке равен 0.

Вычисление вычетов  Укажем некоторые формулы для вычисления вычета в полюсе функции ƒ(z)

1. Z₀ – полюс первого порядка :

Умножим обе части этого равенства на Z –Z₀ и, переходя к приделу при

Z →Z₀ получим, что:

Если функцию можно представить в виде дроби ,

Где, 𝛗(z) и 𝛙(z)- аналитические функции, причем 𝛗(z₀)≠0, 𝛙(z₀)= 0, 𝛙'(z₀)≠0, то есть Z₀ – простой полюс, то из формулы вытекает, что

= .

19. Применение вычетов к вычислению интегралов. Теорема Лемма Жордана.

Пусть ƒ(х) рациональная функция т.е.

ƒ(x)= ,

Где P_n и Q_m многочлены степеней n и m соответственно. Если функция ƒ(x) непрерывна на всей действительной оси (Q_m(x)≠0) m n+2, т.е. степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то

Где σ – сумма вычетов функции

ƒ(x)= ,

во всех полюсах расположенных в верхней части полуплоскости ( существенно особых точек у рациональной функции нет).

Пусть функция ƒ(Z) аналитична в верхней полуплоскости , за исключением конечного числа особо изолированных точек, при ǀZǀ→

Стремиться к нулю равномерно относительно arg z. Тогда для любого положительного а

dz,

Где ɣR – верхняя полуокружность ǀZǀ =R, Im z