12.Ряды комплексной области. Равномерная их сходимость.

Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость

Рассмотрим последовательность функций  , определенных на некотором множестве точек    -мерного пространства. Они могут принимать значения  . Можно считать также, что   - комплексные точки  , пробегающие некоторое множество   точек комплексной плоскости, и тогда   - функции комплексной переменной  .

Пусть для каждого значения   последовательность   стремится к числу   (функции от  ).

По определению последовательность   сходится (стремится) к   равномерно на  , если существует сходящаяся к нулю последовательность неотрицательных чисел    (не зависящих от  ) такая, что

.                         (1)

Это определение эквивалентно следующему: для любого   найдется   такое, что при 

.

В самом деле, если выполнено первое определение, то для любого   найдется   такое, что

,

т. е.

.             (2)

Обратно, по второму определению для любого   найдется   так, что выполняется (2). Но тогда

.            (3)

Мы видим, что неотрицательные числа   не зависят от   и  , т. е. выполняется первое определение.

В первом определении в качестве   можно взять точную верхнюю грань

.

Если она стремится к нулю при  , то   стремится к   равномерно на  , если не стремится, то не равномерно.

Можно еще дать третье определение равномерной сходимости в духе Коши: последовательность   равномерно сходится на  , если для любого   найдется такое  , что выполняется неравенство

                                 (4)

при любых   и   и для всех  .

Из того, что последовательность равномерно сходится в смысле второго определения, следует, что для всякого   найдется такое  , что для   и любых   выполняется неравенство

,

т. е. выполняется третье определение. С другой стороны, пусть выполняется третье определение; тогда для каждого отдельного значения   выполняется, очевидно, обычный признак Коши сходимости последовательности, поэтому она сходится к некоторой функции  . Зададим теперь   и подберем   так, как указано в третьем определении. В неравенстве (4), где   фиксировано, перейдем к пределу при  ; в результате получим

.

И так как   можно взять любым, то мы получим второе определение.

Изобразим в прямоугольной системе координат график функции  (предельной функции), которую мы считаем непрерывной на отрезке   . Зададим   и определим  -полоску толщиной  , окружающую график. Произвольная точка  -полоски с абсциссой   имеет ординату  , удовлетворяющую неравенствам

.

13.Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

 (1.1) где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ – постоянные числа. Точку x₀ называют центром степенного ряда.

Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида

   (1.2)

Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

14.Ряды Тейлора.

 Ряд Тейлора. Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, z₀∈ D. Обозначим L окружность с центром в z₀, принадлежащую области Dвместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L,  . Представим множитель   в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии:  (так как | z – z₀| < | t – z₀| , то  )  , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:    , так как  . Итак, .          Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана          Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, z₀ ∈ D, то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z₀)ⁿ. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z₀| < r, где r - расстояние от z₀ до границы области D (до ближайшей к z₀ точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.  Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции. 

15.Теорема. Ряд Лорана.

Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z₀| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца  ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное:  . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора:  (так как | z – z₀| < | t – z₀| , то  )  , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:  , где  . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на L_ρ | t – z₀| < | z – z₀| :    . 

16.Особые точки. Нули аналитической функции.