31. Понятие устойчивости Ляпунова.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Решение  , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям    , называется устойчивым no Ляпунову при  , если для любого   существует   такое, что для всякого решения    , системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям

Имеют место равенства

для всех  .

Если при сколь угодно малом   хотя бы для одного решения    , неравенства (3) не выполняются, то решение   называется неустойчивым.

Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие

То решение называется асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость решения    , системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения    , некоторой системы, аналогичной системе (1),

(1')

где  .

Говорят, что точка  , есть точка покоя системы (1').

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя    , устойчива по Ляпунову, если, каково бы ни было  , можно найти такое  , что для любого решения    , начальные данные которого    , удовлетворят условию

(2')

выполняются неравенства

(3)

Для всех

32.Понятие дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть  – область  -мерного пространства  точек  ,  . Наиболее общее уравнение в частных производных  -го порядка от  независимых переменных  может быть записано в следующем виде

, (1)

где  ,  – неизвестная функция,  – заданная функция от своих аргументов. Здесь  называется областью задания уравнения (1).

Таким образом, уравнение в частных производных называется уравнением   - го порядка, если оно содержит хотя бы одну частную производную   - го порядка и не содержит производных более высокого порядка.

Определенная в области  задания уравнения (1) функция  , непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество по независимым переменным  , называется классическим решением или просто решением дифференциального уравнения (1).

Уравнение в частных производных (1) называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее производных.

Линейное уравнение 1-го порядка можно написать в следующем виде

,

где  и  – заданные в области  функции переменных  . При этом функции  ,  , …,  ,  называются коэффициентами, а  – правой частью или свободным членом линейного д.у. в ч.п.(2).

Линейное д.у. в ч.п. 2-го порядка может быть записано так :

, (3)

где  – заданные в области  функции, которые называются коэффициентами уравнения,  – заданная в области  функция и называется свободным членом и правой частью уравнения (3).

33.Операционные исчисления. Преобразования Лапласа. Свойство линейности и смещения.

Пусть  - функция вещественной переменной t, равная нулю при  , а  - функция комплексной переменной p, определенная равенством      (1)

(предполагается что интеграл (1) сходится). Соответствие   называется преобразованием Лапласа. При этом функцию   называют оригиналом, а   - изображением.

Свойства.

1) Свойство линейности. Если   и  - изображения, соответствующие оригиналам   и  , т. е.   и  , то 

для любых комплексных чисел   и  .

2) Свойство подобия. Если  , то  .

3) Свойство запаздывания. Если  , то  .

4) Свойство смещения. Если  .

34.Теорема Бореля. Дифференцирования, интегрирования оригинала и изображения.

Дифференцирование оригинала       Если   - оригинал, то

     Если   - оригинал, то

     Интегрирование оригинала       Если   то 

     Дифференцирование изображения 

     Если   то 

     Интегрирование изображения 

     Если   - оригинал, то 

  Формула Меллина обращения преобразования Лапласа 

35. Вычисление несобственных интегралов.

Определенный интеграл   называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

36. Предельные соотношения и интеграл Дюамеля.

Соотношение (5) называется интегралом Дюамеля и представляет свертку производной от входного сигнала и переходной характеристики цепи. Интегри­руя последнее соотношение по частям можно получить другое представление реакции линейной цепи (другую форму записи интеграла Дюамеля):

Интеграл свертки можно выразить через переходную характеристику. Это приводит к интегралу Дюамеля. Для его получения используем записанную  связь h_d = dh/dt, из которой произведение h_d(t – x) dx можно представить как – dh(t – x):

.

В последнем преобразовании использована формула интегрирования по частям. Так как вне интегральный член равен нулю, то окончательно получим

,

где  .

Неудобство этого выражения связано с d-слагаемыми в  , которые появляются, если входной сигнал f₁(t) имеет разрывы. При наличии разрыва в точке t = 0 [f₁(– 0) = 0, f₁(+ 0) ¹ 0],] его можно выделить и записать

Последнее выражение является наиболее распространенной формой записи интеграла Дюамеля.

Если входная функция f₁ имеет разрывы, то для расчета переходного процесса временным методом удобнее использовать интеграл свертки, если она непрерывна, то — интеграл Дюамеля (при неограниченной характеристике h_d).

При выполнении расчетов временным методом следует обращать внимание на: 1) различное аналитическое описание функции  f₁ на различных отрезках у импульсов сложной формы; 2) правильный учет неограниченного характера функции h_d (при вычислении интегралов с d-слагаемыми); 3) правильный учет разрывов функции  f₁ в интеграле Дюамеля.