24.Линейные зависимость и определение Вронского.

Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов  , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b):   для  .  Если равенство   для   возможно только при  , система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно независимой на интервале (a, b).  Другими словами, функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y₁(x),y₂(x), …, y_n(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).  Примеры: 1. Функции 1, x, x², x³ линейно независимы на любом интервале (a, b). Их линейная комбинация  - многочлен степени   - не может иметь на (a, b)больше трёх корней, поэтому равенство   = 0 для   возможно только при  .  Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x², x³ , …, xⁿ. Их линейная комбинация - многочлен степени   - не может иметь на (a, b) больше n корней.  3. Функции   линейно независимы на любом интервале (a, b), если  . Действительно, если, например,  , то равенство   имеет место в единственной точке  .  4. Система функций   также линейно независима, если числа k_i (i = 1, 2, …, n) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко.  Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского.

Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется определитель

25.Структура общего решения. Вариация. Понижение порядка.

Понижение порядка линейного однородного уравнения. Была найдена фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения и его общее решение y_оо (x) = C₁ x + C₂ ln x. В соответствии с методом вариации, ищем решение неоднородного уравнения с приведённым к единице коэффициентом при старшей производной   в виде y(x) = C₁(x) x + C₂(x) ln x. Система (33) для коэффициентов   и  будет такой:      Ответ: общее решение уравнения y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) = (- x ln x + C₁⁰)x +   (в окончательном ответе индекс "0" у постоянных опущен).  В общем случае неоднородного уравнения n-го порядка  , если известна фундаментальная система решений y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде y(x) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) + …+ C_n(x) y_n(x). Тогда:  Метод вариации произвольных постоянных. Если коэффициенты уравнения постоянны, то, как следует из результатов предыдущего раздела, можно найти фундаментальную систему решений однородного уравнения, и, следовательно, применить метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородного уравнения. Пример: найти общее решение уравнения  .

 общее решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения: k² + 4 k - 5 = 0. Его корни    . Фундаментальная система решений y₁(x) = e ^-5x, y₂(x) = e ^x, y_оо(x) = C₁ e ^-5x + C₂ e^x. Ищем решение исходного уравнения в виде y(x) = C₁(x) e ^-5x + C₂(x)e^x. В соответствии с методом вариации система для нахождения     будет   Решаем эту систему:      Общее решение:  (константы в окончательном ответе пере обозначены).