8. Середній абсолютний приріст обчислюють за формулою 6.5.
У нас А - (у„ - Уі)/(п - 1) = (г/2о - </0/(20 - 1) = 2,32
За допомогою середнього абсолютного приросту будують прогноз 2/*+1 наступного (п+1-го) значення показника за формулою 6.6: до останнього відомого значення ряду додають середній абсолютний приріст.
У пас уіі — Уго + Д — 56 + 2,32 = 58,32.
і- Середній коефіцієнт росту обчислюють за формулою 6.9
Упас.КЇ= = М-У^7^= ‘{/56712- ^3767 = 1,084.
За допомогою середнього коефіцієнт росту побудують прогноз ?/*+І наступного (п+1- го) значення показника за фюрмулою 6.10: останнє, відоме значення ряду множать на середній коефіцієнт' росту.
У нас у2\ = </20 х Кр — 56 х 1,084 — 60,73
Методи вирівнювання
Динамічні ряди можуть зазнавати різких коливати, па окремих часових проміжках, тоді як загальна тенденція може бути досить плавною. Для визначення такої загальної тенденції було б корисно якось ’’згладити“ динаміку показника, нехтуючи дрібними флуктуаціями.
Механічне вирівнювання •
Вирівнювання за допомогою середнього абсолютного приросту
За дим методом будують новий ряд динаміки у* за формулами:
!/і = УиУЇ = УІ-і + Д, і = 27п (6.13)
і ут Д середній абсолютний приріст (С.5), За цими формулами перше вирівняло значення ;/' співпадає з першим значенням у\. Всі наступні значення вирівняного ряду отримуються з попередніх вирівняних значень додаванням середнього абсолютного приросту.
Вирівнювання за допомогою середнього коефіцієнта росту
За цим методом будують повий ряд динаміки у* за формулами:
' у" = У І, УІ = УІ-і Т<рЛ = 2ді (6.14)
Тут Кр - середній коефіцієнт росту (6.9). За цими формулами перше вирівняне значення У* співпадає з першим значенням у\. Всі наступні значення вирівняного ряду отримуються з попередніх вирівняних значень множенням на середній коефіцієнт росту.
Вирівнювання за допомогою "ковзкого“ середнього
Основною ідеєю методу є присвоєння вирівняному значенню середнього по кількох сусідніх значеннях. Для цього попередньо слід визначитись з кількістю сусідніх значень. Дтя прикладу візьмемо к = 3. Тоді кожне вирівняне значення у' отримується як середнє значення трьох сусідніх:
УІ = (ї/і-і + Уі + Уїл і)/3,1 *= 2,п- 1 (6.15)
У зв’язку з даним методом виникає питання: скільки сусідніх значень варто взяти для знаходження середнього? Відповідь залежить від мети дослідження. Якщо потрібно виявити лише найбільш загальні елементи динаміки, то слід збільшувати число к, а. якщо цікавлять деталі, то варто зменшити. Рішення приймають в кожному окремому випадку.
Приклад 58 Для динамічного ряду з прикладу 57 провести механічне вирівнювання трьома, способами: яа допомогою середнього абсолютного приросту, за допомогою середнього коефіцієнта росту та методом ковзкого середнього (для знаходження середнього взяти У сусідні значення: к — 3).
Розв ’яз увапня.
При вирівнюванні за допомогою середнього абсолютного приросту будують новий ряд за наступним правилом. Перше вирівняне значення співпадає з першим значенням ряду Уг: ?/і ~ у і — 12. Друге і всі наступні отримуються додаванням середнього абсолютного приросту до попереднього иирівпяного значення за формулою 6.13: у\ — у\ +_Л — 12 + 2,32 — 14,32 (середній абсолютний приріст знайдено в попере.дпьому прикладі: А — 2,32). У* — УІ + А = 14,32-г 2,32 — 16,64 (значення в таблиці відрізняється через вищу точність обчислень), і так далі.
В результаті отримуємо вирівняний ряд, значення якого потрапляють точно на пряму, що сполучає перше та останнє значення заданого динамічного ряду (рисунок 6.1).
При вирівнюванні за допомогою середнього коефіцієнта росту будують новий ряд за наступним правилом. Перше вирівняне значення співпадає з першим значенням ряду у і: уі =1/1. Друге і всі наступні отримуються множенням попереднього вирівняного значення на середній коефіцієнт росту за формулою 6.Ц: Уг = у" ■ Кр — 12 • Кр = 12 • 1,084 = 13,01 (середній коефіцієнт росту знайдено в попередньому прикладі: Кр = 1,084^. Уз — Уз ' Кр — 13,01 • 1,084 = 14,1. 1 так далі.
Значення ряду, вирівняного за допомогою середнього коефіцієнта росту, як і вирівняні за допомогою середнього абсолютного приросту, потрапляють точно на пряму, що сполучає перше та останнє значення заданого динамічного ряду (рисунок б. 1).
При вирівнюванні за допомогою ковзкого середнього при к — 3 використовують формулу 6.15.
Тоді у\ = {уі+у-2+у3)/'д - (12+І4+15)/3 = 13,67, уі = (уг+уз+у^/З = (14+15+17)/3 = 15,33, г так далі.
Значення вирівняного ряду також поміщено на рисунку 6.1
Результати обчислень помістимо в таблицю.
Вирівтовиння за допомогою
/
Уь
середи, або. прир.
середи, ііокф. рості/
ковзк. середи.
1
12
12.00
12.00
2
и
14,32
13,01
13,67
3
15
16,63
14,11
15,33
4
17
18,95
15,30
16,00
5
16
21,26
16,60
18,67
6
23
23,58
18,00
21,33
7
25
25,89
19,52
24,00
8
П
28,21
21,17
25,33
9
27
80,53
22,95
27,33
10
31
32,84
24,89
30,33
11
33
35,16
27,00
33,00
12
35
37,47 -
29,28
35,00
13
37
39,79
31,75
37,33
V,
40
42,11 •
34,43
39,67
15
42
44,48
37,34
42,33
16
45
46,74
40,49
42,67
17
41
49,05
43,91
45,00
18
49
51,37
47,62
47,33
19
52
53,68
51,64
52,33
20
56
56,00
56,00
Аналітичне вирівнювання
Аналітичним вирівнюванням є побудова лівії регресії методом найменших квадратів. Метод найменших квадратів розглядався в розділі “Основи регресійиого аналізу”.
При цьому використовують як лінійні, так і нелінійні моделі.
Знайдену лінію регресії називають трендом.
Приклад 59 Для динамічного ряду з прикладу 58 лінійний трсид мас вигляд у = 2,248/.+ ' 8,095.
6.4
Показники можуть у своїй динаміці проявляти певну повторюваність на фоні загального зростання чи спадання тренду. Наприклад, ціни на городні культури та фрукти типово зростають з року в рік, але в межах цієї тенденції відбуваються коливання. Ціни знижуються у період збору урожаю, коди продукція ще не схована для збереження, а пізніше ціни починають підвищуватись. Сезонність також спостерігається протягом року в кількості
. — значення ряду і/*
0
значення ряду, вирівняного методом
ковзкого середнього
— значення ряду, вирівняного
за допомогою середи, абсол. приросту (або середи, коеф. росту (воші співпадають))
Рис.
6.2: Аналітичне вирівнювання ряду з
прикладу 58
відпочиваючих на курортах. Протягом доби спостерігається коливання кількості пасажирів у міському транспорті, досягаючи максимуму в години пік. Кожного дня добовий графік СПОЖИВАННЯ електроенергії ТТЯСС-Гіеням повторює типові коливання, відтворюючи підйоми і спади в одні і ті ж години.
Для прогнозування майбутніх значень рядів із “сезонними змінами” слід враховувати обидві складові цього явища - і загальний тренд, і сезонні відхилення від тренду. Прогнозом значення показника із “сезонними змінами” є сума трендового значення та середнього сезонного відхилення на відповідний момент часу.
2/(*=Й + & (6.16)
'Гут уі - прогноз значення показника на момент часу і, у\ - значення аналітичного тренду па момент часу I, St - середнє сезонне відхилення від тренду для спостережених значень показника на відповідний момент часу.
Приклад 60 Нехай задано значення деякого показника yt за кожен місяць протягом З рото (21)08 - 2010). Потрібно знайти прогнозне значення показника на квітень наступного (2011) року.
Місяць
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2008
13
12,5
12,5
12,3
12
12
11,9
11,4
10
11
12
13,5
2009
U
Ц
13,8
13,6
13,5
13,2
13,1
12,5
12
12,5
13,5
15
2010
16
16,9
16,7
16,5
16,3
16
15,9
15,4
15
15,5
16,5
18
Для зручності введемо суцільну нумерацію місяців за всі чотири роки. Тобто, присвог -мо номер 13 січневі 2009 року, і так далі. Таким чином, нам відомі значення показника yt з номерами від І до 36: ї/і —т/зв • Місяці квітні матимуть, відповідно, номери 4, 16, 28 та 40. В Цих позначеннях потрібно знайти прогнозне значення у*ли.
Знайдемо тренд рівняння прямої лінії регресії (незалеоюною змінною вважаємо помер місяця /,, залежною відповідне значення показника yt). Для наведених даних отримується лінія регресії у, — 0,14854 +11,146.
Далі, використовуємо з усього динимічного ряду лише дині, які стосуються відповідного моменту часу (у нашому прикладі це квітень).
місяць
помер
і
значення
Уі
тренд
УІ
відхилення
від тренду
Уі~Уі
квітень
2008
4
12,3
11,677
0,623
квітень
2009
16
13,6
13,495
0,105
квітень
2010
16,5
15,313
1,187
Для квітня 2008 у.-, = 12,3; у), — 0,1485'4+11,146 = 11,677; у-, — у\ = 0,623. Рів = 13,6; у),] — 0, 1485 16 + 11,146 = 13,495; у16 - = 0,105.
— значення ряду (;/,)
Рис.
6.3: Прогнозування ряду із сезонними
змінами (приклад 60)
аналітичний тренд (уі), побудований за спостереженими даними за 3 роки
7/28 = 16,5; г/3 = о, 1485 • 28 + 11,146 = 15,313; 2/28 - № = 1,187.
2/3 = 0,1485 • 40 + 11,146 - 17,131.
Долі знаходимо середнє сезонне відхилення, тобто середнє арифметичне відхилень під траіду для трьох місяців квітнів:
Й40 = (0,623 + 0,105 +1,187)/3 = 0,6383.
Тоді прогнозне значення знаходимо за формулою 6.16: у\0 — 2/.to+^40 — 17,131+0,638 = 17,769.
Розділ 7
Статистичний аналіз у програмі
Г Л Г\ ГГ* /^Л 1
иредишсе с,аіс
Програма OpetiOffice Calc є електронними таблицями і призначена для проведення обчислень.
Назви стандартних внутрішніх функцій програми базуються на відповідних англомовних термінах, тому корисно знати переклади потрібних термінів англійською мовою. Переклади деяких термінів наведено в кінці даного розділу.