3.2. Чисельне розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння
Задача Коші – задача відшукування часткового розв’язку диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам.
Задача 11. При розрахунку спряження б’єфів глибина розмиву hp (рис.3.2) в момент часу t може бути знайдена із розв’язання диференціального рівняння розмиву
,
(3.17)
де І – градієнт напору; Vд – придонна швидкість потоку;
при початкових умовах hp(t=0)=0 (відсутність розмиву в початковий момент часу).
Припустимо, що залежність інтенсивності вимиву ґрунту від глибини розмиву та часу виражається однією з функцій, що записані в табл.3.4. Необхідно розв’язати рівняння відповідно до вихідних даних.
Рис.3.2. Схема до розрахунку розмиву за водозливною греблею
Таблиця 18
-
№ вар.
Вид дифрівняння
Початкові умови
Границі інтервалу
Крок сітки h
1
hp (t 0=0)=1
[t0; b=0,5]
0,1
Розв’язання задачі 11 :
Таблиця 19
k |
xk |
xk+h/2 |
xk+h |
T1 |
yk+0,5·T1 |
T2 |
yk+0,5·T2 |
T3 |
yk+T3 |
T4 |
Δyk |
yk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0,05 |
0,1 |
0,100 |
1,050 |
0,106 |
1,053 |
0,100 |
1,100 |
0,113 |
0,104 |
1,104 |
1 |
0,1 |
0,15 |
0,2 |
0,112 |
1,160 |
0,121 |
1,164 |
0,112 |
1,216 |
0,132 |
0,118 |
1,222 |
2 |
0,2 |
0,25 |
0,3 |
0,132 |
1,288 |
0,146 |
1,296 |
0,129 |
1,351 |
0,167 |
0,142 |
1,364 |
3 |
0,3 |
0,35 |
0,4 |
0,165 |
1,446 |
0,188 |
1,458 |
0,154 |
1,518 |
0,226 |
0,179 |
1,543 |
4 |
0,4 |
0,45 |
0,5 |
0,217 |
1,651 |
0,249 |
1,668 |
0,186 |
1,729 |
0,319 |
0,234 |
1,777 |
Лабораторна робота №12
Чисельне інтегрування
Задача 3.3. Припустимо, що геометрія русла річки описується однією із підінтегральних функцій, наведених в табл. 3.6. Визначити площу живого перерізу потоку. Інтеграл обчислити чисельними методами.
№ вар. |
Вид інтегралу |
Кількість кроків n |
3 |
|
10 |
Розв’язання задачі 3.3
;
Визначаємо крок сітки h=(5-0)/10=0,5.
Подальші розрахунки проведено в табличній формі (за методом трапецій – табл.3.7; за методом Сімпсона – табл.3.8).
Таблиця 3.7
Обчислення визначеного інтегралу за методом трапецій
№
Доданка Xi f(x) C C*f(x)
0 |
-0,5 |
1,125 |
0,5 |
0,5625 |
1 |
-0,35 |
2,1211875 |
1 |
2,1211875 |
2 |
-0,2 |
2,304 |
1 |
2,304 |
3 |
-0,05 |
2,0986875 |
1 |
2,0986875 |
4 |
0,1 |
1,809 |
1 |
1,809 |
5 |
0,25 |
1,6171875 |
1 |
1,6171875 |
6 |
0,4 |
1,584 |
1 |
1,584 |
7 |
0,55 |
1,6486875 |
1 |
1,6486875 |
8 |
0,7 |
1,629 |
1 |
1,629 |
9 |
0,85 |
1,2211875 |
1 |
1,2211875 |
10 |
1 |
0 |
0,5 |
0 |
|
∑ |
|
|
16,5954375 |
За формулою: І≈0,15∙16,5954375=2,489316
Таблиця 3.8
Обчислення визначеного інтегралу за методом Сімпсона
№
Доданка Xi f(x) C C*f(x)
0 |
-0,5 |
1,125 |
1 |
1,125 |
1 |
-0,35 |
2,1211875 |
4 |
8,48475 |
2 |
-0,2 |
2,304 |
2 |
4,608 |
3 |
-0,05 |
2,0986875 |
4 |
8,39475 |
4 |
0,1 |
1,809 |
2 |
3,618 |
5 |
0,25 |
1,6171875 |
4 |
6,46875 |
6 |
0,4 |
1,584 |
2 |
3,168 |
7 |
0,55 |
1,6486875 |
4 |
6,59475 |
8 |
0,7 |
1,629 |
2 |
3,258 |
9 |
0,85 |
1,2211875 |
4 |
4,88475 |
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
∑ |
|
|
50,60475 |
За формулою: І≈0,15/3∙50,60475=2,530238
Відповідь: За методом трапецій ≈2,489316
за методом Сімпсона І≈2,530238