Лабораторна робота № 8
Тема: Підбір рівняння нелінійної регресії.
Мета: Навчитися підбирати рівняння нелінійної регресії.
Поняття і визначення:
Застосовуючи МНК, відновлюють лише лінійні за параметрами функції. Але, використавши лінеаризуючі перетворення, цим методом можливо побудувати практично будь-які форми нелінійного парного зв’язку.
Лінеаризація моделі – представлення нелінійної залежності, що вивчається, у вигляді лінійного співвідношення між перетвореними змінними. Одним із методів лінеаризації є логарифмування із подальшою заміною змінних.
Приклад
лінеаризації нелінійної степеневої
залежності виду
:
Логарифмування
.
(2.14)Заміна змінних
;
;
.
(2.15)Отримання лінійної моделі
.
(2.16)
Приклад
лінеаризації нелінійної експоненціальної
залежності виду
:
Логарифмування
.
(2.17)Заміна змінних – формули (2.14).
Отримання лінійної моделі
.
(2.18)
Отримані лінеаризовані залежності можуть бути представлені графічно в логарифмічних (залежність (2.16) (X;Y) або напівлогарифмічних (залежність (2.18)) координатах (x; Y).
Задача 8. В результаті спостереження за динамікою відмов на водозливних греблях отриманий наступний ряд даних. Підібрати параметри рівняння нелінійної регресії для експериментальних даних, застосувавши лінеаризацію. Вихідні дані – із табл.15.
Таблиця 15
№з/п |
t, міс. |
p, подій |
|
Варіант 1 |
|
1 |
0,5 |
12,2 |
2 |
1 |
4 |
3 |
1,5 |
2,3 |
4 |
2 |
1,3 |
5 |
2,5 |
0,7 |
Тип регресії |
степенева |
|
Послідовність виконання:
Створити новий лист в книзі Excel, присвоїти йому ім’я ”Лінеаризація”.
Побудувати графік експериментальної залежності та зробити припущення про вид регресійної моделі.
Виконати логарифмування тих масивів даних, для яких це потрібно для виконання лінеаризуючих перетворень.
Підібрати параметри лінійної регресії для лінеаризованої експериментальної залежності. Для цього скористатися програмою на листі “МНК”.
Записати рівняння нелінійної регресії для вихідних змінних.
Побудувати графіки експериментальної та теоретичної залежностей для вихідних величин
Нанести на графік експериментальної функції лінію тренда заданого типу, вивести рівняння лінії тренду на діаграму. Порівняти отримане рівняння регресії (п.5) із рівнянням лінії тренду.
Виконання.
1. Створив новий лист в книзі Excel, присвоїв йому ім’я ”Лінеаризація”.
2. Підібрати параметри лінійної регресії для лінеаризованої експериментальної залежності. Для цього скористатися програмою на листі “МНК”.
№ |
t |
p |
T=ln(t) |
P=ln(p) |
T^2 |
T*P |
b |
ln(P) |
P |
|
міс |
подій |
|
|
|
|
|
теор |
теор |
1 |
0,5 |
12,2 |
-0,693 |
2,501 |
0,480 |
-1,734 |
-1,711 |
2,564 |
12,98 |
2 |
1 |
4 |
0,000 |
1,386 |
0,000 |
0,000 |
b1 |
1,378 |
3,97 |
3 |
1,5 |
2,3 |
0,405 |
0,833 |
0,164 |
0,338 |
|
0,684 |
1,98 |
4 |
2 |
1,3 |
0,693 |
0,262 |
0,480 |
0,182 |
B0 |
0,192 |
1,21 |
5 |
2,5 |
0,7 |
0,916 |
-0,357 |
0,840 |
-0,327 |
1,378 |
-0,190 |
0,83 |
Сум |
|
|
1,322 |
4,626 |
1,965 |
-1,541 |
b0 |
|
|
Сер |
|
|
0,264 |
|
|
|
3,965 |
|
|
3. Записав рівняння нелінійної регресії для вихідних змінних.
y = -1,711x + 1,3776
4. Побудував графіки експериментальної та теоретичної залежностей для вихідних величин
Відповідь: y = 3,9652x-1,711.
Лабораторна робота №9
Підбір оптимального виду регресії
Задача 9. При дослідженні впливу питомої витрати потоку q,см3/с на глибину ями розмиву hp, см в нижньому б’єфі за водозливною греблею отримано наступний ряд даних. Підібрати оптимальне рівняння регресії для експериментальних даних. Вихідні дані – із табл. 18.
Таблиця 18
№п/п |
q,см3/с |
hp, см |
|
|
Варіант 1 |
||
1 |
1,7 |
25 |
1,5 |
2 |
3,4 |
44 |
1,3 |
3 |
3,8 |
57 |
1,6 |
4 |
4,1 |
65 |
1,5 |
5 |
5,3 |
98 |
1,4 |
6 |
6,3 |
141 |
1,3 |
7 |
7 |
175 |
1,6 |
Послідовність виконання:
Створити новий лист в книзі Excel, присвоїти йому ім’я ”МНК”.
В першому наближенні прийняти лінійний вид регресії
(в (2.23) прийняти m=1).
За допомогою МНК визначити параметри лінійної регресії.
Провести перевірку адекватності прийнятого виду регресійної моделі за критерієм Фішера (умова (2.22)).
При невиконанні умови перевірки на адекватність виконують наступне наближення, прийнявши в (2.23) m= m +1.
Повторюють п.3,4.
Для використаних моделей та експериментальних даних побудувати графіки.
Розв’язання задачі 9:
|
|
|
|
|
y1=29.087x-44.879 |
y2=4.3197*x^2-9.3532*x+28.386 |
||||
№п/п |
q,см3/с |
hp, см |
S^2 |
Ў1 |
Yi-Ў1 |
(Yi-Ў1)^2 |
Ў2 |
Yi-Ў2 |
(Yi-Ў2)^2 |
|
1 |
1.7 |
25 |
1.5 |
4.5689 |
20.4311 |
417.4298 |
24.96949 |
0.030507 |
0.000931 |
|
2 |
3.4 |
44 |
1.3 |
54.0168 |
-10.0168 |
100.3363 |
46.52085 |
-2.52085 |
6.354695 |
|
3 |
3.8 |
57 |
1.6 |
65.6516 |
-8.6516 |
74.85018 |
55.22031 |
1.779692 |
3.167304 |
|
4 |
4.1 |
65 |
1.5 |
74.3777 |
-9.3777 |
87.94126 |
62.65204 |
2.347963 |
5.51293 |
|
5 |
5.3 |
98 |
1.4 |
109.2821 |
-11.2821 |
127.2858 |
100.1544 |
-2.15441 |
4.641495 |
|
6 |
6.3 |
141 |
1.3 |
138.3691 |
2.6309 |
6.921635 |
140.9097 |
0.090267 |
0.008148 |
|
7 |
7 |
175 |
1.6 |
158.73 |
16.27 |
264.7129 |
174.5789 |
0.4211 |
0.177325 |
|
Сума |
|
|
10.2 |
|
|
1079.478 |
|
|
19.86283 |
|
y1=29.087x-44.879:
Sвід=10.2/7=1.457143
Sад=1079.478/6=179.913
F=179.913/1.457143=123.4697
Табличне значення критерію Фішера F1-p(6; 14; 5%)=2,9.
123.4697>2.9 - умова (2.22) не виконується, лінійна модель неадекватно описує експериментальні дані.
y2=4.3197*x^2-9.3532*x+28.386:
Sвід=10.2/7=1.457143
Sад=19.86283/6=3.310471
F=3.310471/1.457143=2.271892
2.27892<2.9 - умова (2.22) виконується; квадратична модель адекватно описує експериментальні дані.
Відповідь:
експериментальні дані адекватно
описуються квадратичною моделлю
.
Лабораторна робота №10