Методология

4. МЕТОДОЛОГИЯ

Принимая во внимание рассмотренные философские проблемы, связанные с понятием познания, или, возможно, переосмысливая чрезмерную метафизическую нагрузку на термин «эпистемология», присущую традиции рационализма, некоторые ученые используют его сейчас для обозначения критических размышлений по поводу процедур, производящих знания (прежде всего научные), вне зависимости от того, как определяется само понятие «знание» (поскольку дать такое определение очень проблематично). Речь идет об изучении достоверности полученных знаний, о выявлении их источников и границ применимости, то есть о том, как мы их приобретаем и обосновываем их достоверность, но не в психологическом или трансцендентальном смысле, а скорее в методологическом1. При таком подходе эпистемология совпадает с дисциплиной, которая называлась философией науки2 или методологией еще до того, как это слово перешло в разряд морально устаревших стараниями логического позитивизма.

Одной изпричин, по которым термин «эпистемология» выглядит более предпочтительным, является то, что он появился (сравнительно) недавно и мог бы обозначать определенную линию водораздела. В течение большого периода двадцатого столетия основные школы философии математики уходили корнями в проекты начала века по обоснованию математики. Эти проекты были связаны с так называемым кризисом оснований математики и разрабатывались с целью обеспечения надежного и окончательного фундамента для математики, абсолютной гарантированности ее истинности и точности. Остав-

1 В подходе такого типа присутствует определенная связь с натурализмом Куайна, о котором поговорим далее, но, конечно, не полное совпадение. В Италии, к примеру, методология была независимо предложена Н. Аббаньяно в пятидесятые годы двадцатого века.

2 Именно так, к примеру, в философском словаре Лаланда (Lalande A.,

Vocabulaire technique et critique de la philosophie, fasc.1–21, P., 1902–1912; 11 ed., P., 1972 – прим. переводчика).

69

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ляя в стороне провалы или опровержения этих проектов, необходимо отметить, что сегодня никто не заинтересован в подобных грандиозных программах. На первый план выходит ясное понимание исторического развития и изменчивой природы математической практики. Становится все более понятным, что математика не является неким окончательным, забальзамированным продуктом, а находится в постояннойпереработке.

Термин «методология» имеет неопозитивистский оттенок, связанный с идеей научного метода и с использованием, почти исключительным, формальных техник. Он всегда вызывает у специалистов страх, что им хотят преподать урок, как делать их собственную работу, как будто бы, если они останутся без присмотра, то не смогут с ней справиться. Не только неопозитивисты поддаются искушению отвести методологии нормативную роль. Имрэ Лакатош, идеи которого обсудим позднее, также оказался под влиянием подобного подхода. От общей методологии, как он называл критическую философию Карла Поппера, он произвел, по его собственным словам, методологию математики, которая претендует, не совсем, правда, ясно, то ли на описание того, как математика сделана, или же на то, как она должна была быть сделана.

В любом случае сегодня, как мы уже отметили, в отличие от формального интереса позитивистской методологии к зрелым теориям и завершенным научным продуктам, набирает силу мнение, что

основное назначение [философии] должно состоять в сопровождении и помощи непрерывному социальному процессу, который осуществляет производство математики3.

Такой подход вскрывает новые проблемы психологического, исторического, социологического характера, которые требуют, возможно, не только философской компетенции. К примеру, предыдущее утверждение опирается на тезис, что

3 См. N.D. Goodman, Mathematics as an objective science, in Amer. Math. Monthly. 1979. V. 86. № 7. Р. 540–551.

70

Методология

необходимо принять к сведению, что математика представляет собой публичную деятельность, которая происходит в определенной социальной среде и имеет определенные социальные последствия. Постановка проблемы, формулировка определения, доказательство теоремы – ни одно из этих действий не является частным… Поэтому философия математики в сильной степени подобна философской системе, говорящей о природе материальных объектов, принадлежащих общественной практике.

Подобный взгляд, широко распространенный сегодня, порождает новые постановки вопросов, однако, даже с учетом исторического и социального контекста, философия или эпистемология математики, или методология, если угодно, должна оставаться размышлением о дисциплине, которая характеризуется как один из типов познания, или дисциплине, которая дает знание.

Такое условие необходимо для того, чтобы избежать сползания на проблематику чисто социологическую или историческую, то есть, для того, чтобы продолжать заниматься философией. Социология науки имеет в действительности серьезные амбиции, стремясь отобрать у философии науку как эксклюзивный предмет исследования, и некоторые ее радикальные теоретизирования4 понимаются только под таким углом зрения. Чтобы выиграть академическую баталию, социолог пытается доказать, что не существует ничего, что могло бы считаться объективным знанием, что все знание социально обусловлено.

Даже если принимается точка зрения эпистемологического подхода, то все же остается еще одно замечание общего порядка, которое необходимо сделать перед погружением в философские рассуждения. Весьма спорным является то, что математика должна рассматриваться как совокупность знаний.

Если на простой вопрос «Что такое математика?» отвечают «Математика – это изучение …», то, опуская необходимость уточнения многоточия, которое, вероятно, подразумевает предметы изучения (числа, функции, пространство), неявно признаютвсето, что внутренне присуще слову «изучение», а именно тот факт, что изучать что-то обычно означаетприобретатькакие-то знанияотносительноизучаемо-

4 В особенности сильная программа Дэвида Блура (David Bloor), рас-

смотренная в G. Lolli, Beffe, scienziati e stregoni, Bologna, Il Mulino, 1998.

71

Философия математики: наследие двадцатого столетия

го предмета, и предполагают, что эти знания верны. Все эти предположениянеявнопризнаютсяиприрассмотренииматематикикакнауки.

Ответ, между тем, мог бы быть и другим. Начало могло бы звучать как «Математика – это конструирование …», например, конструирование алгоритмов.

Математика могла бы быть актом созидания, а не познания. В этом случае творения должны бы быть понятны, как минимум, своим создателям, но это не является общепризнанным фактом, более того, отождествлять творения (в том числе и ментальные) с их знанием нельзя. Это считается определенной философской ошибкой5. В качестве примера представьте себе программу для ЭВМ, которая запущена таким образом, что взаимодействует с другими и модифицируется. Спустя некоторое количество времени даже ее создатель будет не в состоянии сказать, что делает программа. Подобная возможность рассматривалась отцами механического интеллекта начиная с А. Тьюринга, однако она кажется немного неестественной для математических конструкций, которые постоянно находятся под контролем со стороны своих творцов и модифицируются только при помощи явных действий тех, кто их использует.

Математика могла бы быть определена и как вид искусства, и тому имеются многочисленные свидетельства.

Формы у математика, как и у художника или поэта, должны быть краси-

вы (Г.Х. Харди (G.H. Hardy)).

Есть одна вещь, в которой нематематики не отдают себе отчет, и это именно то, что на самом деле математика почти целиком есть предмет эстетический (Конвей Дж.Х. (J.H. Conway)).

5 «Идея о том, что наша созидательная деятельность гарантирует эпистемологический доступ к созданной конструкции, является установленной ошибкой, несмотря на всю свою привлекательность. Нет никакой квазикартезианской гарантии знания в отношении продуктов нашей мыслительной дея-

тельности», цитировано по S.J. Wagner, Logicism, in Proof and Knowledge in Mathematics, под ред. M. Detlefsen, London, Routledge&Kegan Paul, 1992, pp. 65–109. Это замечание весьма спорно, в особенности, как увидим, в отношении логицизма, к которому оно обращается.

72

Методология

Подобные заявления могли бы даже выражать философскую позицию, однако эта философия здесь бы и заканчивалась. Если математика – искусство, то она и должна изучаться как искусство. В этом случае самое большее, что можно было бы сделать, так это продолжить рассуждение на тему о том, может ли искусство также давать знание.

Математика могла бы также быть искусством, если ее рассматривать как определенную технику или совокупность техник и инструментов. И, наконец, ответ может быть множественным. Математика являет собой разные вещи: науку, искусство и т.д.

Даже допустив, что математика есть знание, нельзя довольствоваться только наивным значением этого термина, поскольку он имеет многочисленные нюансы. Если сравнить следующее высказывание М. Штайнера (Mark Steiner)6:

Полагаю как данное (для философии математики) положение, что большая часть людей знает какие-то математические истины и, что некоторые люди их знают много

с высказыванием М. Клайна (Morris Kline)7:

Математика – скорее не метод и не искусство. Это совокупность знаний, содержание которых пригодно для физиков и специалистов социальных наук, для философов, логиков и художников.

Математика есть каркас знаний и не содержит никакой истины,

то мнения, как видим, различные.

Знание есть также умение, это «ноу хау» или знание процедурное, противоположенное знанию декларативному, которое является знанием фактов, выражаемым посредством высказываний. Дополнительное различие введено философами между «знанием чего-то» и «знанием, как». «Знание, как» не требует (возможно) уточнения или предположения природы сущностей,

6См. M. Steiner, Mathematical Knowledge, Ithaca, Cornell Univ. Press, 1975.

7См. M. Kline, Mathematics in Western Culture, Oxford, Oxford Univ. Press, 1953.

73

Философия математики: наследие двадцатого столетия

к которым известные истины относятся. Знание, что «2+2=4» (знание, как сложить «2» и «2») не требует обязательного понимания, что есть «2», «4» и «+». Знание же чего-то означает, что это что-то есть то-то и то-то8, и это вновь возвращает нас к вопросу об онтологии.

8 Имеются некоторые философские позиции, которые, рассуждая о знании, пытаются избежать наивного представления поклонников соответствия интуитивной семантике. Таков, например, прагматизм. Одну из таких позиций встретим в презентации натурализма, а пока условимся следующим образом. Если люди говорят «я знаю, что…», то обычно ссылаются, даже неумышленно, на некоторое положение вещей, и совершенно другой случай, если люди говорят «я знаю, как…».

74