Дедуктивизм

11. ДЕДУКТИВИЗМ

Под «дедуктивизмом» понимается тезис, что математика есть совокупность утверждений в форме «если… то…», которые являются логически законными (в английском языке используется также термин if-then-ism). Это направление отводит основную роль логике в определении математики, но и роль, и логика значительно более слабые, чем в логицизме.

Логика, на которую ссылается дедуктивизм, есть логика первого порядка или, во всяком случае, логика с четким полуразрешимым определением логического вывода. Ее роль лишь дедуктивная. Вырисовывается симметричное расхождение с логицизмом, который, по крайней мере вначале, принимал исторически сформировавшиеся логические системы в том, что касалось выбора аксиом и правил, с эмпирической уверенностью в их адекватности и был заинтересован в основополагающих аксиомах и определениях. В дедуктивизме же вопросы, касающиеся определений, целиком оставлены без внимания. Он характеризуется тем значением, которое придает гипотетико-дедуктивной организации математических теорий, где аксиомы рассматриваются в лучшем случае как неявные определения. Ни одно определение посредством аксиом не выделяет единственным образом бесконечные структуры, например, структуру натуральных чисел, в отличие от амбиций логицизма в этом направлении.

Дедуктивизм не отождествляется с формализмом, поскольку не требует, чтобы выводы были формализованными. Не случайно о имеющих логическую силу условиях говорится в семантических терминах. Логика остается все же формальной, и с теоремой о полноте, для того чтобы выводы заключений могли бы также быть формальными. Требовать, чтобы отношение логической выводимости было полуразрешимым, практически означает то же самое, что и требовать, чтобы имела силу теорема о полноте, то есть что сама логика, даже если она представлена семантически, была бы аксиоматизиру-

215

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ема с помощью системы логических аксиом и эффективных правил вывода. Упоминавшаяся уже логика второго порядка есть пример логики, которая не имеет этого свойства, но которая (взамен этого?) сильнее в выразительном плане, позволяя, в частности, формализовать теорию категорий. Следовательно, дедуктивизм использует результаты современной логики для того, чтобы выбрать именно слабую логику (и здесь напрашивается вопрос: почему?) С философской точки зрения это течение не представляется хорошо обоснованным. Но дедуктивизм нельзя оценивать в абстрактных терминах. Он, как структурализм, представляет собой плод недавней истории математикииоткрытияаксиоматическогометода.

Тот же самый процесс, который привел к появлению понятия структуры, позволил также прояснить природу аксиоматического метода.

Одним из наиболее скрупулезных исследователей этого феномена был Ф. Энриквес (Federigo Enriques)1, чьи рассуждения в современном прочтении мы передадим своими словами, для того чтобы показать, как этот феномен воспринимался современниками.

«Различные теории» имеют разные первопричины, но все они обусловлены освобождением от реалистического упрощения природы и «сходятся в одной и той же идее преобразования». Этими течениями являются: проективная геометрия, неевклидовы геометрии, построение моделей для геометрии (Риман, Бельтрами), алгебра и логика в Англии, арифметизация Анализа, основания Анализа и даже физика с новой идеей, поддержанной позитивистской философией и состоящей в том, что задача физики заключается в построении моделей реальности.

Несмотря на то, что эти разные течения «все участвуют в реформе современной логики, она полностью утверждается только через критику принципов геометрии, благодаря чему математики приобретают зрелое сознание свершившейся в веках революции».

Критика принципов геометрии заключается в формальном переосмыслении аксиоматического метода, унаследованного от

1 F. Enriques, Per la storia della logica, Bologna, Zanichelli, 1922, реприн-

тное переиздание 1987, в особенности гл. 3.

216

Дедуктивизм

Евклида. Все начинается с Ж. Жергонна и с концепции неявного определения, которой мы ему обязаны. Жергонн говорил о неявном определении в том случае, когда несмотря на незнание смысла термина, который появляется в некотором постулате, его понимание позволяет придать смысл и этому термину. Неявные определения примут форму определения системы основных понятий при помощи системы высказываний.

Плодотворность идеи была показана общим принципом заменяемости понятий, который берет свое начало в принципе двойственности (того же Жергонна, 1826): теоремы проективной геометрии представляются всегда парами, так как каждая теорема имеет свою двойственную теорему, получаемую взаимной заменой терминов «точка» и «прямая». Вначале это было принципом или, может быть, лишь наблюдением без обоснования. Так было вплоть до систематизации проективной геометрии К.Г.Х. фон Штаудтом, но, по мнению Энриквеса, прежде всего Ю. Плюккер был тем, кто, «заставив принцип двойственности опираться на соображения о координатах прямых и плоскостей, дал возможность аналитической обработки взаимосвязанных отношений» (тройки чисел могут теперь быть как точками, так и окружностями ). Результаты Плюккера – это не просто развитие аналитической геометрии, но и новая логическая техника. «Прямое сопоставление двух рядов геометрических свойств или двух геометрий, унифицированных в аналитическом представлении, побуждает переводить из одной в другую разные формы интуиции».

Именно этот путь, по мнению Энриквеса, ведет к прояснению цели аксиоматического представления. «Логическая форма, которую хотелось бы придать постулатам, есть именно форма отношений, имеющих значение, независимое от специфического содержания понятий».

Любая геометрическая теория рассматривается как некоторая система логических отношений между несколькими понятиями, обозначенными словами «точка», «прямая» и, возможно, некоторыми другими. «Можно оставить этим словам некоторое неопределенное абстрактное значение, рассматривая их, следовательно, как символы неизвестных понятий, но формально удовлетворяю-

217

Философия математики: наследие двадцатого столетия

щих фундаментальным высказываниям, которые выражают геометрические отношения. Тогда допустимо фиксировать по желанию, наподобие некоторой конвенции, значение символов, но так, чтобы удовлетворить вышеупомянутым формальным условиям. Возникает, таким образом, бесконечное число возможных конкретных интерпретаций абстрактной геометрической теории».

Первая работа, в которой принципы геометрии приобретают форму чисто логических отношений между не определяемыми первичными понятиями, обязана своим появлением М. Пашу (Moritz Pasch), который даже выводит оттуда естественные следствия, если говорить о доказательствах2:

Чтобы геометрия стала истинно дедуктивной наукой, было необходимо, чтобы выводы следствий были независимы от смысла геометрических понятий, так же, как они были независимы от рисунков. В процессе вывода допустимо и, может быть, полезно думать о значении геометрических понятий, участвующих в игре. Но это не обязательно. Если же это становится необходимым, то это знак того, что в дедукции присутствует некий дефект и принятые для доказательства предположения неадекватны.

Паш продолжает, отмечая, что если имеется верное доказательство, которое не зависит от смысла, приданного геометрическим понятиям, то когда меняется значение исходных суждений, оно меняется также у заключения, и вывод остается законным по отношению к новому значению. Другими словами, вывод справедлив для всех интерпретаций.

Энриквес упоминает далее сводящиеся к тому же самому видению оригинальные вклады Пуанкаре, Гильберта и Пеано и даже добавляет, что, «насколько мы можем судить, смысл логической формы должен быть заново постигнут в качестве личного завоевания, возможно, каждым из математиков, принадлежащих к одному и тому же поколению»3.

Все математики того поколения должны были считаться с новой реальностью и пришли к одному и тому же заключению, про-

2 M. Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig, Teubner, 1992,

p. 98.

3 F. Enriques, Per la storia della logica, уже цит., с. 166.

218

Дедуктивизм

диктованному определенным ходом дел. К тому же самому выводу, который последующий автор выразил в некотором подобии клятвы Гиппократа: «на каждого математика, который в душе интеллектуально честен, возлагается теперь уже абсолютная обязанность представлять свои рассуждения в аксиоматической форме… словами, которые лишены всякого интуитивного смысла»4.

Реформа логики, о которой говорит Энриквес в контексте новой концепции аксиоматического метода, состоит, таким образом, в освобождении аксиом от всякого привилегированного значения. Следовательно, логика, которую можно применять к ним, может быть только формальной (в этом смысле не обязательно символьной), и, следовательно, формальная логика впервые видит некоторое признанное оправдание своему существованию. В заключение как неявное следствие мы получаем определение теоремы. Теорема есть высказывание, истинное для всех интерпретаций аксиом.

Математики конца девятнадцатого – начала двадцатого столетия впервые в истории дают определение теоремы и, в то же самое время, впервые дают экстенсиональное определение логического следствия.

Как дедуктивизм, так и структурализм имеют корни в этой далекой эпохе, но структурализм в двадцатом веке, обогатившись и обновившись, стал на длительный период превалирующей идеологией. Дедуктивизм же не прогрессировал, не пытался укрепиться, ставя, к примеру, вопрос о выборе аксиом. Нельзя сказать, правда, что и другие философии в этом преуспели.

Аксиомы, которые могут интересовать дедуктивизм, не являются, конечно, аксиомами, связанными с основами математики. Слабое внимание к этим аксиомам обусловлено также реальным феноменом, который имеет исторический интерес, а именно, изменением статуса высказываний, которые могут быть переведены из теорем в аксиомы и наоборот, в зависимости от логической организации, выбранной для теории. Примером может служить теорема Паппа, которая стала дополнительной возможной аксиомой для того, чтобы отличить, так сказать, плоскости паппианские, то есть соответствующие этой аксиоме, от плоскостей непаппиан-

4 J. Dieudonné, Les methodes axiomatiques modernes, уже цит., с. 544.

219

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ских5. То же самое можно сказать в отношении теоремы Дезарга. Это обстоятельство не ведет с необходимостью к конвенционализму в отношении аксиом. Для сторонника дедуктивизма важна сложная система возможных логических отношений, а не их конкретный и простой однонаправленный поток.

Как результат, дедуктивизм находится сейчас в неустойчивом равновесии. Тот, кто его исповедует, рискует, с одной стороны, смешаться со структуралистами, если предпочитает работать в семантических терминах, а с другой – с формалистами, если сосредоточивается на формальной дедуктивной практике.

Всем этим дедуктивизм доставляет беспокойство многим, несмотря на свои внешне скромные претензии. Они, на самом деле, включают положение, что в математике не приняты выводы не дедуктивные, и это не нравится ни реалистам, ни натуралистам, и еще больше – эмпиристам, как мы скоро увидим. Тезис дедуктивизма подразумевает, что математическое знание не зависит от веры и от социальной практики и, в частности, защищено от эмпирически мотивированных ревизий.

Сдругой стороны, если математика должна оставаться наукой, то для тех, для кого она должна оставаться в этом статусе, математика должна предоставлять возможность для ее пересмотра. Но поскольку является фактом то, что математические теоремы представляют собой логически истинные условные предположе-

ния, свободные от любых контрпримеров, то возражения ориентированы в направлении, описанном ниже6.

Содной стороны, отрицается, что логика (или одна из логик) способна охарактеризовать и обеспечить правила для образования утверждений логической необходимости и логической выводимости. Если, к примеру, необходимость означает истинность во всех интерпретациях, то определение было бы круговым, некоторой фразой теоретико-множественной семантики, то есть математическим. С другой стороны, сама логика не освобождена (или: нельзя предположить, что она освобождена) от эмпирически мотивированных ревизий, так как существуют разные типы логики и разные

5Ph.J. Davis, The Education of a Mathematician, уже цит., с. 62–66.

6См. M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит., гл. 8.

220

Дедуктивизм

предложения по использованию альтернативных логик, каковы, например, интуиционистская или квантовая.

Эти замечания не учитывают результат стабильности, который является следствием совместного действия теорем о корректности и полноте и был отмечен Г. Крейзелем (Georg Kreisel)7. Теорема о корректности не зависит от какой-либо характеристики понятия интерпретации (теоретико-множественной или нет), но только от рекурсивного определения выполнимости8. Отсюда следует, что если понятие интерпретации должно быть модифицировано так, что расширяется собственно область теоретикомножественных интерпретаций, и тем более, если она сужается, то понятие логической истины остается тем же самым. Трудно пока представить какое-то другое понятие интерпретации, которое не включало бы ныне существующие. Нельзя, естественно, исключить, что в будущем не возобновятся поиски интенсиональных определений логических понятий и что придется, пожалуй, отбросить рекурсивность, но ничто на горизонте, кажется, не предвещает этого.

7G. Kreisel, Informal rigour and completeness proofs, in Problems in the Philosophy of Mathematics, под ред. I. Lacatos, Amsterdam, North Holland, 1967, pp. 138–171.

8Речь идет о рекурсивном определении, в котором выполнимость некоторой формулы определяется выполнимостью составляющих формул в зависимости от главной логической операции.

221

Философия математики: наследие двадцатого столетия

222