Стихийная философия математиков

15. СТИХИЙНАЯ ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКОВ

Точка зрения работающего математика1 представляет собой обычно несостоятельную мешанину различных мнений, поскольку если он действительно работает, то не может посвятить много времени философским вопросам и довольствуется повторением того, что он где-нибудь нахватался. Его стихийная философия (как философия ученых в целом) представляется не такой уж спонтанной, поскольку некоторые темы и некоторые позиции, выработанные великими математиками, распространяются, в том числе и устно, доходят до него и влияют на него. Порой незнание – своего рода поза, поскольку математик самонадеянно претендует в действительности на то, что может ответить на все вопросы (а не избегать их, как хотелбыуверить Бурбаки) безпомощи других специалистов. Тем не менее, всегда есть чему поучиться в спорадических набегах математиков на философию, когда поднимаемые ими вопросы хорошо обдуманы. По крайней мере, математики в состоянии легко распознать слабые пункты рассуждений, касающихся их дисциплины.

Мы рассмотрим одно изложение, которое представляет собой оригинальную, местами противоречивую, смесь платонизма, натурализма, эмпиризма и конструктивизма2. Предлагаем читателю выделить разными цветами отрывки, узнаваемые как относящиеся к разным философским направлениям. Еще более полезное упражнение – дискуссия с автором цитаты, чтобы увидеть, насколько вы освоили проблемы, решения, логику различных соревнующихся философских течений.

Размышления Р. Хэмминга организованы вокруг следующей идеи. Попытаемся вообразить, какой тип математики мог бы быть развит обитателями некоторой далекой пригодной для жизни пла-

1В оригинале англ. working mathematician (прим. переводчика).

2R.W. Hamming, Mathematics on a distant planet, in «The Amer. Math. Monthly», 105, 1998, n. 7, pp. 640–650.

269

Философия математики: наследие двадцатого столетия

неты с аналогичными Земле физической структурой и химическим составом, и чего мы должны ожидать, если они вступили бы с нами в контакт.

«Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих» [Кронекер]. Можно претендовать на то, что это не так, но необходимость жить, выживать и отличать одну вещь от другой для меня означает, что, вероятно, будет иметься в распоряжении некоторая дискретная система счета. Система, которая должна быть неограниченной в своем расширении – целые числа являются конечными и линейно упорядоченными, но система целых чисел бесконечна.

Аксиомы Пеано хороши, но, конечно, никто не думает на самом деле, что эти постулаты привели к появлению целых чисел. Если вдруг оказалось бы, что они неадекватны, то мы их сразу бы модифицировали, чтобы получить то, что хотим. Наши представления о целых числах являются независимыми от аксиом Пеано!

Наши представления о числах не являются независимыми от постулатов Пеано, если только не в том смысле, что наши представления не являются порожденными принятием постулатов. Они совпадают с постулатами, если учитывается анализ Дедекинда. Они никогда не станут неадекватными в том смысле, что будет необходимо их заменить. Самое большее, может обнаружиться их недостаточность, и тогда, если наши представления станут более совершенными, их нужно будет дополнить.

Евклидова геометрия связана с понятием непрерывности. Греки не смогли уклониться от необходимости примирения двух концепций – непрерывности и дискретности, и нужно сказать, что плохо справились с этой задачей, как, впрочем, и мы… Парадоксы Зенона явились драматической попыткой показать сущностные противоречия, которые возникают между непрерывной и дискретной точками зрения … Дискретная постановка была блокирована той логикой, что никакое изменение невозможно; изменение – иллюзия, иначе ничего не было бы определено и зафиксировано. Непрерывность и дискретность не смешиваются, они как вода и масло.

Полагаю, что на этой далекой планете тоже пришли бы к той же самой логике, которую используем мы, даже если их жизнь была бы основана на кремниевых, а не на углеродных соединениях; в конце концов, они будут

270

Стихийная философия математиков

жить в том же самом физическом мире и, следовательно, будут иметь те же самые проблемы, драматическим образом поставленные Зеноном3.

…

Возникает дилемма. С одной стороны – интуитивно убедительное доказательство, что всякий конечный набор аксиом имеет счетную реализацию, с другой – процедура диагонализации, использованная для доказательства несчетности. Раньше или позже на далекой планете столкнутся с подобным выбором, и кто знает, как они поступят. Я полагаю, что они поместили бы Кантора в старости в закрытую клинику…

Кантор в старческом возрасте в действительности был госпитализирован, но и у многих других прикладных, практических и конкретных математиков была такая же судьба. Диагонализация (тот ее специфический вид, примененный для действительных чисел) была предложена Кантором в самом расцвете сил, и несчетность континуума была принята как интуитивная (также благодаря подтверждению, полученному при помощи диагонализации) значительно раньше, чем пришло осознание логической теоремы Лё- венгейма–Сколема о счетных моделях; некоторая конечная теория, формализованная в логике второго порядка, может также иметь только более чем счетные модели; тонко намекая на Лёвенгейма– Сколема, Хэмминг забывает о той борьбе, которую пришлось вести за признание логики первого порядка; если инопланетяне пройдут тот же путь, то они очень схожи с нами.

Странные результаты [относящиеся к бесконечным мощностям] обнаруживаются, когда рассматриваются множества, упорядоченные и плотные в интервалах; это для множеств бесконечных и неупорядоченных Кантор предложил определение равномощности через биекцию.

Этими странными и ошибочными в буквальном смысле утверждениями по поводу упорядоченных множеств Хэмминг хо-

3 Далее в тексте Хэмминга излагается краткая история чисел, основные этапы которой – теория величин греков, появление в Средние века десятичной системы счисления, решение считать числами иррациональности, доказательство Кантором несчетности континуума и второй круг – переход от представлений чисел к программам для их вычислений (вследствие идей, предложенных Тьюрингом). [прим. автора]

271

Философия математики: наследие двадцатого столетия

чет, вероятно, предложить понятие счетного множества, которое не связано с понятием взаимно-однозначного соответствия, а ссылается на процесс эффективного генерирования. Так, к ним не нужно было бы применять понятия теории мощностей.

Я совсем не уверен, что на далекой планете примут такое же решение, и это имеет серьезные последствия, к примеру, для интегрирования по Лебегу. Оно придает нулевую меру каждому счетному множеству, следовательно, множеству вычислимых чисел, то есть множеству, в которое входит все то, о чем можно говорить или что можно назвать! Более сорока лет я заявлял, что если бы корректное функционирование самолета в полете зависело от факта, что некоторая функция, используемая в его проекте, является измеримой по Лебегу, а не по Риману, то я бы не полетел на таком самолете. Кто знает, в состоянии ли Природа распознать эту разницу. Сомневаюсь в этом. Каждый волен делать, что хочет, но я заметил, что год за годом интегрирование по Лебегу, а в действительности вся теория меры, играет все меньшую роль в других разделах математики и не играет никакой роли в областях, которые лишь используют математику. Недавно было показано, что интеграл по Хенстоку (Henstock), который представляет собой простое и естественное расширение интеграла Римана, является более общим, чем интеграл Лебега со всеми его недостатками.

Не вижу никаких причин для прогулок по раю Кантора… Полагаю, что на этой Земле мы дойдем до принятия решения, что достаточно вычислимых чисел… Собственно, как физики после многолетних дискуссий о свойствах эфира, которые, в итоге, не могли быть измерены, со временем решили отказаться от него, я тоже считаю, что было бы лучше совсем игнорировать то, о чем нельзя говорить или нельзя измерить.

Математика может допускать, следовательно, ревизии, и ее результаты, по мнению Хэмминга, нельзя рассматривать как окончательные.

Теперь уже ясно, что я не считаю, что теоремы бывают действительно доказаны. Г.Х. Харди хорошо описал эту ситуацию. Мы производим некоторые символы, другие их читают и либо оказываются убежденными, либо нет. Для простых людей, которые верят во все то, что читают, и никогда не подвергают это сомнению, доказательство и есть доказательство. Для других доказательство есть лишь способ размышления о теореме, и на того, кто читает, ложится ответственность – составить свое собственное мнение. Формальные доказательства, где намеренно нет никакого смысла, могут убедить лишь формалистов, и сами они отрицают всякий смысл полученных резуль-

272

Стихийная философия математиков

татов. И это математика, которую мы должны использовать для того, чтобы понять мир, в котором живем?..

Две совершенно различных точки зрения оспаривают друг у друга объяснение того, что же есть на самом деле математика, и у меня нет никакого средства для того, чтобы решить, какая из двух могла бы превалировать на далекой планете или же, как на Земле, обе сосуществуют бок о бок при слабом взаимопонимании. Для меня истинность или ложность теорем почти совсем не зависит от доказательств; моя внутренняя убежденность должна быть арбитром принятия или отклонения математики, которую вижу…

Если и есть некоторый смысл, в котором доказательство представляется в самом деле неубедительным, и в этом можно согласиться с Хэммингом, так это то, что оно никогда не завершено. Требования разъяснений, уточнений и модификаций всегда возможны, прежде всего, со стороны тех, кто исходит из доказательства для построения все более убедительной и удовлетворительной собственной версии, которая соответствовала бы персональной логике мышления. Можно, следовательно, признать правоту Брауэра, что языковое выражение представляет собой лишь несовершенное средство, используемое для того, чтобы объяснить другим ход собственной мысли. Однако яркость, с которой видится результат, когда он видится, целиком субъективна, и внутренняя убежденность может быть выражена только через еще одну убогую попытку вербального выражения. Внутренняя убежденность не является, однако, озарением, она структурирована. Дэвис утверждает, что логическое доказательство при дедуктивистском подходе не убеждает его, потому что до каждого результата он хочет дойти своей собственной дорогой4. Это не исключает того, что этот путь – логический.

Гильберт обнаружил, что Евклид неявным образом принял без доказательства некоторые предложения о пересечениях и отношении порядка, и для получения явного доказательства добавил многочисленные дополнительные аксиомы по отношению к тем, от которых отталкивался Евклид!... Я понял, что добавочные аксиомы были нужны Гильберту для того, чтобы убедиться в истинности евклидовых теорем (следовательно, теоремы полагались истинными независимо от существования соответствующих доказательств), и то-

4 Ph.J. Davis, The Education of a Mathematician, уже цит., с. 64.

273

Философия математики: наследие двадцатого столетия

гда я понял, что Евклид тоже находился в такой же ситуации. Он имел в распоряжении многие теоремы, в отношении которых «знал, что они были истинны», включая теорему Пифагора, и должен был найти аксиомы, которые бы их обосновали. Математика не состоит лишь в формулировании произвольных постулатов и последующем выводе из них определенных следствий, она гораздо богаче. Исследователь отталкивается от некоторых вещей, которые он хочет иметь, и затем пытается найти аксиомы, которые их поддержат! С позволения Бурбаки!

Вот одна из наиболее цитируемых теорем евклидовой геометрии о невозможности разделения любого угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Теорема истинна, однако она становится ложной, если допускаются две метки на линейке (как было известно еще Архимеду)! Разница ничтожна при практическом применении! Кто знает, найдется ли на далекой планете свой Платон, одержимый идеальным до полного отрицания любых физических инструментов в геометрии, кроме циркуля и линейки. Отказывающийся даже от такой малости, как две метки на линейке! То, что математики так часто ссылаются на теорему, истинность или ложность которой зависит от подобной незначительной разницы в определении, представляется целиком неразумным! Такие теоремы не имеют никакого значения в мире.

Теоремы о невозможности относятся к наиболее красивым в математике и к наиболее показательным. Они устанавливают границы. Другие примеры касаются разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и неполноты арифметики.

Вместо того чтобы утверждать, что именно математики привередничают, можно было бы задаться вопросом, почему мир настолько тонко устроен, что не допускает решений, которые искались; почему мир не допускает простых решений и отвергает определенные алгоритмы, которые вырывали бы у него ответы.

Отметки на линейке определяют всю разницу, которая есть между измерением (с помощью некоторой единицы измерения) и, в противоположность этому, возможностью обойтись без измерений. Совсем не маленькая разница, а насколько она велика – иллюстрируют две соответствующие теоремы.

Мы не можем предполагать, что внеземные жители прошли по той же самой нашей узкой дорожке. Без формулирования определений скажу, что «прочные» части математики внушают, в целом, доверие, если позаботиться о корректной идентификации тех сторон реальности, которые соответствуют такой математике (вместе с аккуратным контролем неявных предположений,

274

Стихийная философия математиков

принятой общей структуры и проверкой ее пригодности в аналогичных ситуациях), и что «хрупкие» части математики являются бесполезными для нас, как была бесполезна для физиков идея эфира, и хорошо, что она предана забвению!

Эрмит сказал: «Мы – слуги, а не господа математики». Я часто заявлял обратное: «Мы – хозяева математики, а не слуги, и можем делать то, что хотим». По правде говоря, я, возможно, подразумеваю нечто среднее между этими двумя утверждениями. Иногда мы ведомы математикой, иногда контролируем ее. Внеземные жители окажутся в такой же ситуации, поскольку они живут в физическом мире того же самого типа, что и мы. И если мы предположим, что они в состоянии установить радиоконтакт с нами, то, полагаю, что их «прочная», полезная математика будет иметь значительное сходство с нашей. «Хрупкие» же разделы могут сильно отличаться. Кто знает, заботят ли их все наши банальные теоремы и вообще знакомы ли они с ними.

Можно задаться вопросом, верна ли в их математике знаменитая теорема Ферма. Следует отметить, что теорема была доказана на основе наших постулатов, определений и способов рассуждения, однако необходимо учитывать то, что внеземные жители могут иметь свое мнение о том, что является доказательством, а что – нет, и даже то, какие высказывания являются значимыми для них, а какие – для нас.

Теорема Ферма не может иметь другого смысла для инопланетян, это элементарный комбинаторный смысл.

Прежде чем возражать тому, что я отсекаю слишком большую часть высшей математики, повторю еще одно замечание, которое часто высказывал. Если бы кто-то вошел в мой кабинет, чтобы показать мне, что интегральная теорема Коши является ложной, я бы сильно заинтересовался, но в итоге предложил бы поискать другие допущения, при которых она стала бы истинной, поскольку я «знаю», что она является «истинной»; она слишком необходима в некоторых моделях (так же, как еще только теорема Грина), чтобы не быть истинной, так как обеспечивает потенциальную функцию векторных полей и является базой работы на комплексных переменных…

…

В платоновском мире, в котором, как многие думают, прописана математика, исследователь «открывает» теоремы, которые, по-видимому, были там сразу же после Большого взрыва. Противоположная точка зрения – я «творю» результат, когда его нахожу. Если я попытаюсь проанализировать то, что чувствую, отбросив всякие предубеждения, то, мне кажется, можно сказать, что если результат важен, то есть ощущение, что я его нашел, но

275

Философия математики: наследие двадцатого столетия

если же он оказывается скорее банальным, то я его создал! Ничего нельзя сказать о далекой планете.

На Земле математики, в основном, отдают себе отчет, что платонизм невозможно защитить логически, и, тем не менее, примыкают к нему до тех пор, пока их не просят ответить, что такое математика, и тогда они соскальзывают в направлении более защитимой позиции и утверждают, что математика – пустая игра символов без всякого внутреннего смысла … С другой стороны, и им на далекой планете также будет необходимо финансирование для продолжения работ и, по возможности, для развития. Боюсь, что они столкнутся с похожими на наши логическими проблемами в попытках определить, что же такое математика. Однако там, как и здесь, математика обязательно должна быть чем-то большим, чем простая манипуляция символами без смысла, если она должна дать возможность для связи посредством радиоволн, предусмотренных уравнениями Максвелла; сказать что-то более позитивное – трудное дело.

Возвращение бурбакистской темы по поводу метаний от платонизма к формализму заслуживает завершающего комментария. Такие колебания встречаются, это правда, но они являются не четкой программой, а скорее сложным психологическим состоянием, и движение, кажется, идет именно в направлении, противоположном тому, которое было указано Бурбаки. Математик, который размышляет о своей науке, обычно имеет оригинальные идеи (если имеет), тесным образом связанные с его работой и часто непонятные для посторонних. Его ежедневный хлеб – это символы, и ему привычно иметь дело с ними и с возможностями, которые они дают. Вероятно, то, что связано с манипуляцией символами, является не окончательным прибежищем, а первым способом выражения общих оценок математики. Если затем математик подвергается «допросу с пристрастием», то может легко растеряться от вопроса о смысле. Это тема философская, и без явной подсказки извне трудно ожидать, что смысл сам по себе представляет проблему, поскольку он всегда есть в том, что говорится. Если математик приходит в замешательство от проблемы смысла, то он пугается, путается и, вероятно, прячется за внушающий доверие реализм, не представляя себе до конца последствий этого шага.

276