Семиотика

8. СЕМИОТИКА

Формализм не говорит много о символах и об особой деятельности с символами, которая присутствует в математике и размышление о которой также было бы важно для понимания математики. Такими исследованиями занимается специальная научная дисциплина – семиотика, и хотелось бы видеть больший интерес к математике со стороны ученых, ею занимающихся. Однако несмотря на выдающийся пример Ч.С. Пирса семиотические исследования в отношении математики редки, идеологически выдержаны в духе постмодернистских тенденций и выполнены некомпетентными людьми. Но это то, что предлагает сегодня культура, и нужно быть информированными об этом.

Например, Б. Ротман предлагает интерпретацию математики как некоторой машины, создающей образы и управляемой записями1. До сих пор, по мнению Ротмана, не были проведены теоретические исследования математического языка, поскольку во взглядах на него превалировал реализм. Математические же объекты не могут быть выделены из разговорной деятельности, которая давала бы им значение, следовательно, они неотделимы от социальноисторической практики. «Объекты, на которые, казалось бы, язык ссылается, сами сформированы, предоставлены, вызваны, созданы теми же самыми разговорными инструментами, использованными для их называния».

Математика есть своего рода исторически обусловленная риторика, деятельность, цель которой – убеждать, хоть эта цель и была в наше время всегда замаскирована. «Математическая достоверность порождается применением некоторого аппарата, разработанного с целью замаскировать его разговорные, риторические начала под видом нейтрального и теоретически безвредного мето-

1B. Rotman, Mathematics as Sign, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2000

иранее B. Rotman, Ad infinitum – The Ghost in Turing’s Machine, Stanford, Stanford Univ. Press, 1993.

185

Философия математики: наследие двадцатого столетия

да открытия объективных истин». Математика есть «трансили панкультурный результат некоторой сознательной и длительно выполняемой программы в отношении строгости и объективности» начиная с научной революции семнадцатого века. Были реализованы математически строгие программы для устранения языка, ориентированного на физику, и в итоге математика «не может нести на себе клеймо никакого частного языка, ни по содержанию, ни по своим процедурам». Математик имеет в своем распоряжении систему символов, посредством которой он не может выразить свое свойство быть «материализованным» (англ. embodied2), свое «воображение» и свои «интенциональные манипуляции».

До сих пор все это – идеология, разделяемая и другими лингвистами, которые интересуются математикой3. Предложение Ротмана есть «семиотическая модель, в которой математическое рассуждение целиком идентифицировано с выполнением цепочки воображенных действий» фиктивными субъектамипообразцамтекстов.

«Из грамматики текста» выявляются две характеристики математической речи – организация ее как побудительного императива и отсутствие зависимости от контекста (дейксиса – конкретных указаний на время, место, персоналии). Но математические тексты представляют собой только часть рассуждений математического сообщества, которая подразделяется на формальную и неформальную. Эти два типа рассуждений называются, соответственно, Кодекс и Метакодекс. Формальный тип, или Кодекс, является императивным и характеризуется отсутствием дейктических элементов (я, здесь, это,…), значение которых определяется внешним миром.

2Воплощенный, реализованный, материализованный, закрепленный (англ. – прим. переводчика).

3Например, Дж. Лакофф (George Lakoff); см. G. Lakoff, R.E. Núñez, The metaphorical structure of mathematics: Sketching out cognitive foundations for a mind-Based mathematics, in Mathematical Reasoning: Analogies, Metaphors and Images, под ред. L.D. English, London, Lawrence Erlbaum Associates, 1997, pp. 21–89. Обсуждение Лакоффа смотри в G. Lolli, La metafora in matematica, in

La parola al testo, scritti per Bice Mortana Caravelli, a cura di G.L. Beccaria e C. Marello, Alessandria, Dell’Orso, 2002, pp. 221–232.

186

Семиотика

Команды бывают двух видов: побудительные «рассмотрим, определим, докажем» и другие, которые предлагают выполнить команды, обусловленные первыми, и предполагают обращение к кому-либо, например, «проинтегрируй f». Субъект не может интегрировать, поскольку интегрирование есть процесс суммирования «без конца»4. Тогда к кому обращена команда? Для того чтобы ответить на этот вопрос, делается уточнение, что производится разделение математика на Персону, Субъекта и Агента.

Персона разрабатывает неформальную математику в Метакодексе, Субъект отвечает на императивы «докажем», «определим». Агент представляет собой некую идеализированную модель себя, которая выполняет императивы как автомат, оперируя только символами без значения. Поскольку он является «бестелесным», невоплощенным, Агент может идти вперед до бесконечности. «Это идеализированная и обособленная версия или модель Субъекта, перенесенная в реальность из воображения, для выполнения действий, которые выходят за пределы физических и когнитивных возможностей Субъекта в силу его телесности».

Субъект, в ответ на некоторый императив, воображает некий мир «в реальности», то есть создает некий мир при помощи воображения и назначает собственного двойника – Агента – выполнить различные воображаемые действия5.

При переходе от Персоны к Субъекту стираются, в смысле стирающих функторов, дейктические элементы, а при переходе к Агенту – также смысл и значение.

Персона – неформальный математик. К примеру, «представление о доказательстве как длинном выводе является одновременно точным и неполным. Конечно, для того, чтобы было доказа-

4Как будто бы не существует формул для интегрирования в финитных терминах, и нужно постоянно применять определение посредством сходящихся аппроксимаций сумм.

5Как мы поняли, Ротман заимствует у Пирса идею о том, что «я» также есть знак, некий type, который, будучи произнесенным, создает субъекта, отличного от того, кто это произносит [прим. автора].

187

Философия математики: наследие двадцатого столетия

тельство, необходимо6 предъявить список логически корректных выводов с соответствующими заключениями, что должно выглядеть как последовательность действий, выполненных Субъектом в соответствии с логикой, санкционированной Кодексом», но, с другой стороны, доказательство должно убеждать, и функция «подтверждающего рассуждения» заложена в Метакодексе.

Метакодекс содержит указание, как организовать шаги доказательства в виде «семиотической конструкции, которую не следует идентифицировать с индивидуальными шагами, но стоит понимать скорее как имманентную». В Кодексе формальная корректность шагов «выявлена», в подкодексе специальные операции, которые «предъявляют эти шаги», выполняются Агентом.

Различие между Персоной, Субъектом и Агентом, введенное Ротманом, схватывает реальные аспекты различных уровней математики и, при некоторой коррекции, могло бы быть полезным. Нужно бы точнее детализировать функции Субъекта, отделив их от ограничивающей идеи императивов, которые, в целом, вторичны. Более того, истинно формальное изложение есть разговорное, а императив – остаток неформального. Субъект может быть математиком, который пишет доказательства и, следовательно, должен выполнить недетерминированное задание. Эвристики, помогающие в построении доказательств, легко могут включать разные уровни рассуждения и при этом не отвлекаться от смысла и значения. Агент же мог бы быть исполнителем истинно детерминистических или квазидетерминистических обязанностей.

Ротман, однако, при помощи своей модели претендует на объяснение того, как математические рассуждения соотносятся с записями математиков: математические утверждения являются предсказаниями будущего, то есть утверждают, что если выполняются определенные операции с символами, то результат будет соответствовать предвидению.

Проверкой подобного предвидения является для Ротмана мысленный эксперимент. Такой эксперимент, однако, убеждает

6 Но не ясна причина, почему это необходимо у Ротмана и почему, наоборот, речь не идет, что было бы более последовательно, о эфемерном ограничении, наложенномисторическойпрограммойстрогости[прим. автора].

188

Семиотика

лишь в случае наличия подобия между Агентом и Субъектом, в случае, если то, что происходит с Агентом, то, с чем он встречается в воображенном мире, похоже или имитирует то, что Субъект сможет найти в мире реальном. Подобное сходство должно пониматься широко, включая разнообразные практики, в противном случае кажется, что знаки должны соотноситься с миром для их оправдания, что есть реалистическая гипотеза, отклоненная семиотикой. Степень сходства соответствующих миров опасно ослабляет различие между Субъектом и Агентом.

Субъект, кроме того, не может выразить сходство между миром и воображенным миром знаков, не имея дейктических элементов, и это реализует Персона. В то же самое время Ротман говорит, что Субъект делает «разумные материальные записи», продолжая повторять, что его «присутствие не локализовано и не установлено по времени и месту». Возможно, так оно и есть, и эти три фигуры нельзя четко разграничить.

Единственной математической темой, рассмотренной Ротманом, оказались последовательности или ряды, представленные символом «…», который рассматривается как аутентичный математический знак. Если перестать воображать, что Агент не воплощен, то для Ротмана невозможно представить движение вперед до бесконечности, и нужно думать, что при возрастании номеров записи становятся все более неопределенными и неконтролируемыми. Кажется, таким образом, что семиолог в конце концов предлагает отказаться также и от потенциальной бесконечности, однако тогда непонятно, насколько предложенная семиотическая модель с ее бесконечными операциями описывала бы реальную математику, как то было заявлено в планах.

189

Философия математики: наследие двадцатого столетия

190