Практичне заняття 1. Банахови та гільбертові простори.

Основні відомості:1. Означення норми та скалярного добутку. Банахови та гільбертові простори.

2. Ортогональність. Базис.

1. Банахови простори.

1.1. Нехай Е лінійний простір, що має метрику ρ, що задовольняє властивостям: а) для будь – яких х, у, z E ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y); б) для будь – якого х Е, для будь – якого R ρ(0, x) = ρ(0, x). Довести, що Е лінійний нормований простір з нормою = ρ(0, x).

1.2. Нехай х , х, у , у Е (Е – нормований простір). Довести, що: а) якщо х х, то ; б) якщо х х і 0, то у х; в) якщо х х, у у, то .

1.3. Чи будуть нормами у С[a,b] наступні функції: а) = ; б) = ; в) = ( , р – фіксована додатня функція з С[a,b].

2. Гільбертовий простір.

2.1. Довести, що для будь – яких векторів х, у Н (Н – гільбертовий простір) має місце рівність паралелограма .

2.2. Нехай Е – лінійний нормований простір (над полем дійсних чисел R ). Довести, що якщо для будь – яких векторів х, у Е виконується ріність паралелограма, то формула (x, y) = = ( ) задає у Е скалярний добуток.

2.3. Нехай Н = С([-1,1]) зі скалярним добутком (x, y) = Знайти М , якщо: а) М = { х Н , t [0,1]}; б) М = { х Н }; в) М = { х Н }, t [0,1].

Задачі для самостійної роботи.

1. Привести приклад на R метрики, що не задовольняє вимогам задачі 1.1.

2. Нехай Е – лінійний нормований простір. Довести, що для будь – яких векторів х, у Е max { }.

3. Чи будуть нормами у С функції:

а) = ,

б) = ,

в) = + ,

г) = + ,

д) = + .

4.Нехай В – банаховий простір. Якщо {B (x )} послідовність замкнених шарів, що вкладені один в одного і rn=0, то існує, і притому єдина, точка х В, що належить усім шарам.

5. Дві норми і у лінійному просторі Е називають еквівалентними, якщо >0, x E . Довести, що якщо на Е визначені дві еквівалентні норми, і в однієї з них Е – банаховий простір, то Е банаховий простір і в другій нормі.

6. Довести, що якщо на Е задані дві еквівалентні норми і , то поповнення Е в і співпадають.

7. Довести повноту C(G), де G замкнута та обмежена множина.

8. Довести, що якщо х, у Н і х у, то = (теорема Піфагора).

9. Довести, що , np ( ) = np x + np x .

10. Нехай G підпростір гільбертового простору Н. Довести, що вектор х G тоді і тільки тоді, коли .

11. У побудувати проекцію будь – якої функції на підпростір: а) парних функцій; б) непарних функцій.

Лекція 3. Лінійний неперервний функціонал. Загальний вигляд лінійного неперервного функціонала у гільбертовому просторі.

1. Лінійний неперервний функціонал.

Нехай В – банаховий простір. Відображення В х ℓ (x) ( ) називають функціоналом.

Означення. Функціонал ℓ називають лінійним, якщо , В ℓ( ) = ℓ(х) + ℓ(у).

Для лінійного функціонала легко довести, що ℓ(0) = 0.

Будемо називати функціонал ℓ неперервним на В, якщо відображення ℓ:В С неперервно.

Теорема. Якщо лінійний функціонал неперервний в одній точці, то він неперервний всюди.

Доведення. Нехай ℓ неперервний у точці х і х х довільна точка. Покажемо, що ℓ неперервний у точці х. Нехай { } будь – яка послідовність в В, що збігається до х. Тоді при n . Оскільки ℓ неперервний у х , то ℓ( ) ℓ(х ), або ℓ( ) - ℓ(х) + ℓ(х ) ℓ(х ) при n . Отже, ℓ(х ) ℓ(х) при n , що доводить неперервність ℓ у точці х.

Означення. Лінійний функціонал ℓ називають обмеженим, якщо с>0, с .

Теорема. Лінійний функціонал ℓ неперервний тоді і тільки тоді, коли він обмежений .

Доведення. Достатність. Нехай ℓ обмежений . Якщо х , то с . Маємо ℓ( ) 0, тобто ℓ неперервний у точці х = 0, а значить він неперервний у всьому просторі В.

Необхідність. Нехай ℓ неперервний на В, але не обмежений. Тоді для кожного n існує В такий, що > n . Розглянемо послідовність у = , n. Маємо ℓ(у ) >1. Отже, у , а ℓ(у ) >1, що протирічить неперервності ℓ (оскільки ℓ(0) = 0). Тобто наше припущення невірне і ℓ - обмежений функціонал.

Означення. Нормой лінійного функціонала ℓ (x) називається число = = .

Нехай В – банаховий простір. Позначимо через - сукупність всіх лінійних неперервних функціоналів на В. В природним чином вводиться структура лінійного простору: ℓ, m , , ,

1. ( ℓ)(х) = ℓ(х),

2. (ℓ + m)(х) = ℓ(х) + m(х).

Розглянемо на норму ℓ .

Теорема. Простір , з вказаною нормою, є повним банаховим простором.

Довести самостійно.

Слідуюча властивість лінійного обмеженого функціонала носить геометричний характер.

Нехай В – банаховий простір, ℓ . Розглянемо множину G = Ker ℓ = {x B ℓ(x) = 0}. Множина G є підпростір простору В.

Теорема. Множина G - гіперпідпростір, тобто підпростір, що має корозмірність 1. Це означає, що якщо у G , то лінійна оболонка (С {y}) = B.

Доведення. Нехай у G . Покажемо, що він має вигляд x = g + y, де g G , . Покладемо = і розглянемо вектор g = x - y. Оскільки ℓ(g) = ℓ(х) - ℓ(у), то g G . Тобто х = g + y, що і треба було довести.

Приклади.

1. Нехай В = R . Тоді лінійний функціонал має вигляд ℓ(х) = ℓ(е ), де х - координати х, а е = ( ,0,…,0) базис в R . Якщо ввести ℓ = ℓ(е ), то ℓ(х) = ℓ . В цьому випадку G = R .

При n = 3 і

ℓ( ) = ax + by + cz і G - площина (при n = 2, G - пряма, ℓ( ) = ax + by).

2. Теорема (Рісса). Для любого функціонала ℓ ( існує така функція g обмеженої варіації, що функціонал ℓ представляється за допомогою інтеграла Рімана – Стільтьєса С[0,1] ℓ(х) = .