2. Загальний вигляд лінійного неперервного функціонала у гілбертовому просторі.

Теорема (Рісса). Нехай Н – гільбертовий простір. Тоді ℓ існує єдиний елемент u Н такий, що х Н, ℓ(х) = (х, u). Причому, .

Доведення. З властивостей скалярного добутку випливає, що (х, u) = ℓ(х) ( u Н ) є лінійний обмежений функціонал. Дійсно , причому . При х = u маємо ℓ(u) = , отже звідки випливає рівність .

Доведемо першу частину теореми.

Нехай ℓ . G = Ker ℓ - гіперпідпростір Н. У випадку гільбертового простору це означає, що dim G = 1. Нехай е G , = 1. Тоді х Н маємо x = g + e, де g G , C. Звідси ℓ(х) = ℓ(g) + ℓ(e) = (x, e)ℓ(e) = (x, ℓ(e)e). Положимо u = ℓ(e)e, тоді ℓ(х) = (х, u), u = ℓ(e)e. Рівність була доведена вище .

Покажимо єдиність u. Нехай існує u і u Н такі, що ℓ(х) = (х, u ), ℓ(х) = (х, u ), х Н. Тоді 0 = (х, u - u ) х Н. Візьмемо х = u - u , тоді = 0, тобто u = u .

Зауваження. Простори Н і - ізометрично ізоморфні, це дозволяє ототожнювати Н і .

Приклади.

1. Н = L (R, dμ), = L (R, dμ) і x(t) L (R, dμ) ℓ(х) = dμ(t), де ℓ(t) L (R, dμ) .

2. Н = l , = l і x l ℓ(х) = , ℓ = (ℓ ,…, ℓ ) l .

Лекція 4. Узагальнені функції. Узагальнені функції повільного росту.

1. Узагальнені функції.

Розглянемо простір основних функцій D ( R ).

Означення. Узагальненою функцією на D ( R ) будемо називати лінійний неперервний на D ( R ) функціонал.

Множину всіх узагальнених функцій на D ( R ) позначимо ( R ).

Теорема. ( R ) L ( R ) (простір локально сумованих функцій).

Доведення. Якщо f(x) L ( R ), то для будь – якої (х) D ( R ) вираз f( ) = (х)dx = (f, ) визначений коректно, оскільки - обмежена і мє обмеженний supp . Те, що f( ) лінійний функціонал випливає з властивостей інтеграла Лебега. Покажимо, що f( ) неперервний функціонал. Дійсно, нехай у D ( R ), тоді n supp G, де G деяка обмежена в R множина і рівномірно на G. Отже f( ) = (х)dx, оскільки f(x) (х) f(x) (х) у кожній точці і n k ( k, , в силу того, що рівномірно, - неперервні і визначені на обмеженій множині G) і згідно з теоремою Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла Лебега маємо вказану сходимість.

Означені функції називають регулярними.

Покажемо, що ( R ) не співпадає з L ( R ).

Приклад. На D ( R ) розглянемо - функцію Дірака . Вочевидь, ( R ), але L ( R ). Доведемо це від противного. Припустимо, що існує f(х) L ( R ), для якої виконується рівність (0) = = dx, для будь – якої (х) D ( R ). Отже, 0 = (х (х)) = х (х)dx = . Оскільки рівність 0 виконується для будь – якої функції D ( R ), то х = 0 майже всюди. Отже, f(x) = 0 майже всюди, тоді (0) = = dx = 0, D ( R ). Ми прийшли до протиріччя. Таким чином наше припущення невірне і L ( R ), тобто - не регулярна функція.

Отже, множина ( R ) не співпадає з L ( R ).

Нижче, по аналогії з регулярними функціями, ми будемо користуватися означенням f ( R ), D ( R ) f( ) = (f, ).

Розглянемо деякі властивості функцій ( R ). По – перше, на ( R ) природнім чином можна ввести додаток функцій та добуток функції на число:

1. (g + f)( ) = g( ) + f( ),

2. ( f)( ) = f( ).

Крім того, f f у ( R ) якщо, для будь – якої D ( R ): f ( ) f ( ).

Для узагальнених функцій природнім чином задається операція диференціювання. В основі означення лежить правило інтегрування по частинах. Отже,

(D f)( ) = (D f, ) = (-1) (f, D ), для будь – якої D ( R ) (зауважимо, що D D ( R )).

Приклад. Розглянемо ( R ), де - функція Хевісайда

Тоді ( (х), ) = -( (х), (х)) = - = = + (0) = (0) = ( . Отже, (х) = .

Зауважимо, що функції із ( R ) – нескінченно диференційовані в узагальненому сенсі.

Крім того, зазначимо, що якщо f - раз диференційована у класичному сенсі, то D f ( < ) в узагальненому сенсі співпадають з класичними похідними.