2. Счисленно – нормовані простори.

Нехай задано сімейство банахових просторів параметризованих елементами довільної множини Т. Припустимо, що щільно у кожному і сімейство направлено по вложенню: і , причому вложення топологічні. Домовимось називати послідовність збігаючою в , якщо вона збігається в кожному просторі . Якщо Т – счисленна множина, то простір називають счисленно – нормованим простором.

Приклад. 1. Розглянемо – множина нескінченно диференційованих функцій з обмеженими носіями ( supp x(t) – обмежена множина), В - поповнення по нормі Вочевидь … , і відповідний счисленно – нормований простір позначають – простір основних функцій.

2. Наступний приклад - приклад топологічного простору (що не є счисленно – нормованим) основних функцій, які ми будемо застосовувати нижче.

Розглянемо на множині сходимість послідовностей {х } к x якщо:

1. – обмежена в така, що supp .

2. 

Отриманий топологічний простір позначають D ( ).

Легко довести, що D ( ) і не належить D ( )).

Відповідним засобом можна розглянути простори D (G), S (G ), де довільна множина в .

Лекція 2. Скалярний добуток. Гільбертовий простір. Ортонормований базис. Простір Фока.

1. Скалярний добуток. Гільбертовий простір.

Означення. Говорять, що на лінійному векторному просторі Е задан скалярний добуток над полем комплексних чисел С( ), якщо визначена функція Е Е (х, у) (х, у) С, що задовольняє умовам:

1. (х,х) 0; (х,х) = 0 ↔ х = .

2. (х,у) = .

3. λ С, ( λх,у) = λ(х,у).

4. (x + y,z) = (x,z) + (y,z).

Якщо на лінійному просторі Е визначений скалярний добуток, то його називають предгільбертовим простором.

З курсу математичного аналізу відомо, що функція , побудована по скалярному добутку , є нормою. Отже, предгільбертовий простір – нормований, і згідно з теоремою про поповнення може бути поповненим.

Повний предгілбертовий простір називають гільбертовим простором.

Приклади. 1. , (х, у) = - гільбертовий простір.

2. L (R, μ), (х, у) = - гільбертовий простір.

3. W ( ), (x, t) = .

4. l - простір послідовностей (x ,…,x ,…) (x С) таких, що ; (х,у) = .

2. Ортонормований базис.

Означення. Два вектори х, у (х у) у гільбертовому просторі Н називають ортогональними, якщо (х, у) = 0.

Крім того, будемо говорити, що х ортогональний до множини G (х G), якщо він ортогональний до кожного вектора з множини G. Проекцією вектора х на G назовемо вектор у = np x такий, що х – у G.

Означення. Систему векторів {e } Н будемо називати ортонормованою в Н, якщо

Теорема. Нехай Н гільбертовий простір і {e } довільна ортонормована система векторів в Н. Тоді для будь – якого вектора х Н , де х = (х, е ).

Доведення. Розглянемо х = n = 1,2,… . Тоді = тобто для будь – якого n . Спрямовуючи n отримаємо нерівність (нерівність Бесселя).

Означення. Систему ортонормованих векторів {e } у гільбертовому просторі будемо називати повною(замкнутою), якщо для будь – якого х Н (рівність Парсеваля).

Теорема. Нехай Н гільбертовий простір, а {e } замкнута система ортонормованих векторів. Тоді для будь – якого х Н виконується рівність х = , х = (х, е ).

Доведення. Випливає з попередньої теореми та означення замкненої системи векторів.

Зауваження. х = (х, е ) називають координатами Фур’є, а ряд - рядом Фур’є.

В даному випадку, систему векторів {e } називають ортонормованим базисом.

Зауважимо, що подібно тому як робилось в курсі алгебри, будь – який базис можна ортогоналізувати.

Означення. Якщо у гільбертовому просторі Н є счисленний базис, то Н називають сепарабельним.

Згідно з останньою теоремою, будь – який сепарабельний простір Н – взаємно - однозначно відображається на l із збереженням норми.

3. Простір Фока.

Розглянемо фізичні інтерпритації гільбертових просторів.

1. Фазовий простір (простір станів) для системи n матеріалних точок у механіці є простір R .

2. Простір станів у квантовій фізиці є простір L ( ), або можна інтерпретувати його як гільбертовий простір Н.

3. Розглянемо простір станів для квантового поля.

Нехай Н – гільбертовий простір, тензорним добутком Н Н будемо називати множину пар {х у Н, у Н} і (х у, х у ) = (х, х ) (у, у ). Аналогічно і (х … х , у … у ) = (х , у )…(х , у ). Розглянемо простір

F(Н) = (Н, Н Н, Н Н Н, …, ,…) = {(x , x x , x x x ,…) } зі скалярним добутком (х,у) = (x , у ) + (x , у )( x , у ) + (x , у )( x , у )( x , у ) +… .

Побудований гільбертовий простір називають простором Фока, який у теорії квантових полей і є простором станів.