2. Інтегральні рівняння Фредгольма.

Нехай Н = L (R, dμ) і ядро k(t,s) L (R R, dμ dμ), тоді інтегральнийоператор (Ах)(t) = dμ(s) – оператор Гільберта – Шмідта, отже компактний.

Означення. Інтегральним рівнянням Фредгольма другого роду називають рівняння виду dμ(s) – x(t) = y(t), де x(t) – невідома функція.

Теорема. Інтегральне рівняння Фредгольма 2 – го роду має розв’язок для тих y(t) L (R, dμ), які задовольняють умовам dμ(t) = 0, де (t) – довільний розв’язок рівняння dμ(s) = 0.

Рівняння Фредгольма 2 – го роду має розв’язок для будь – якого y(t) L (R, dμ), якщо рівняння dμ(s) має тільки тривіальне рішення.

Теорема. Рівняння Фредгольма 2 – го роду має розв’язок для будь – якого y(t) L (R, dμ) тоді і тільки тоді, коли відповідне однорідне рівняння має тільки тривіальний розв’язок.

Обидві теореми випливають із загальних теорем.

Нехай , де - лінійно незалежні функції в L (R, dμ). Введемо позначення dμ(s), dμ(t), dμ(t), ( j, k = 1,…, n).

Рівняння Фредгольма 2 – го роду для вказаного ядра k(t, s) буде мати вигляд dμ(s) – x(t) = y(t). Домножая рівняння на b (t) і інтегруючи по R будемо мати слідуючу систему n лінійних рівнянь , і = 1,…, n.

Якщо х(t) розв’язок рівняння Фредгольма 2 – го роду, то (х ,..., х ) розв’язок алгебраїчної системи. Навпаки, якщо (х ,..., х ) розв’язок алгебраїчної системи, то розв’язок рівняння Фредгольма 2 – го роду.

Перевірити самостійно.

Означення. Інтегральним рівнянням Фредгольма першого роду називають рівняння виду dμ(s) = y(t).

Ці рівняння не вписуються у вказану теорему.

Практичне заняття 5. Рівняння Фредгольма.

Необхідні знання: 1. Рівняння Фредгольма. Альтернативи Фредгольма.

3. Рівняння Фредгольма з виродженим ядром.

Задачі.

1. Нехай А L (Е) і Ах = х має тільки тривіальні рішення. Чи випливає звідси, що Ах – х = у має рішення для будь – якого у Е? Перевірити на прикладі Е = ℓ , Ах = (0, х , х ,…) (х = (х , х ,…)).

2. Розв’язати x(t) – 4 x(s)ds = 2t – π.

3. При яких в L [a, b] рівняння має розв’язок.

Задачі для самостійної роботи.

1. Нехай G H підпростір Н інваріантний відносно А. Довести, що G - інваріантний відносно А .

Розв’язати рівняння:

2. .

3.

4. Привести приклад банахового простору В і оператора А L (В) такого, що рівняння Ах – х = 0 має нескінченне число лінійно незалежних рішень.

Лекція 11. Спектральний розклад компактного самоспряженого оператора.

1. Самоспряжений компактний оператор та його спектр.

Нехай Н – гільбертовий простір.

Теорема. Будь – який не нульовий компактний самоспряжений оператор А L (Н) має власний вектор, що відповідає власному значенню , для якого .

Доведення. Зауважимо, що в силу рівності А = А будемо мати . Завдяки, останній рівності {х } ( ) така, що . Оскільки А , то {Ах } має підпослідовність, що збігається ({Ах }). Позначимо х = у . Крім того, в силу збіжності послідовність дійсних чисел має підпослідовність ), що збігається к числу , . Відмітимо, що ψ ( - збігається), звідки при . З нерівності випливає, що , з другого боку , оскільки . Отже, і .

В силу того, що А випливає існування для якого і А (оскільки А L (Н)). Згідно з доведеной границей А , тобто власне значення А.