3. Унітарний оператор.

Означення. Лінійний оператор U: H H називається унітарним, якщо виконуються дві умови:

1. х, у Н (Ux, Uy) = (x, y);

2. R(U) = H.

З означення U маємо і U L (Н),

Теорема. Унітарний оператор U має обернений і U = U - є унітарним.

Довести самостійно.

Лекція 7. Матричне представлення операторів. Оператори Гільберта – Шмідта

1. Матричне представлення у гільбертовому просторі.

Нехай Н – сепарабельний гільбертовий простір і деякий ортонормований базис в Н. Розглянемо оператор А L (Н). Тоді для будь – якого х Н маємо (Ах, е ) = , де а = (Ае , е ), тобто числа а утворюють нескінченну матрицю, що відповідає оператору А. Отже, кожний оператор А L (Н) допускає матричне представлення в будь – якому ортонормованому базисі в Н.

На відміну від n – мірного випадку, у нескінченній ситуації не кожній матриці (а ) відповідає лінійний неперервний оператор в Н.

Теорема. Матриця (а ) , що задовольняє вимозі задає лінійний неперервний оператор А в Н.

Доведення. З нерівності Каши маємо х Н . Додаючи по j отримаємо .

Отже, А L (Н) і

Зауваження. Вимога теореми дуже сильна. Так матриця одиничного оператора а = його не задовольняє.

Відмітемо, що у термінах матриць можна сформулювати поняття , котрі розглядалися раніше.

Отже, самоспряженому оператору А відповідає матриця така, що а = ( - симетрична.

Якщо Р - ортопроектор і його матриця ( , то (оскільки Р - самоспряжений) і , в силу властивості .

2. Оператори Гільберта – Шмідта.

Нехай Н – сепарабельний гільбертовий простір, (е ) , (f ) - два ортонормованих базиса в Н. Припустимо, що оператор А L (Н) задовольняє умові .

Враховуючи рівності і = , маємо, що не залежить від вибору базисів {e } і {f }, а залежить лише від оператора А.

Означення. Оператор А L (Н) називається оператором Гільберта – Шмідта, якщо для деякого (а значить і для будь – якого) ортонормованого базису (е ) збігається ряд .

Сукупність всіх операторів Гільберта – Шмідта, що діють в Н обозначають S (H).

Означення. Абсолютной нормой оператора А називається величина

.

Отже, якщо , то А S (H).

3. Інтегральні оператори Гільберта – Шмідта.

Нехай Н = L (R, dμ), де R деякий простір з мірою μ. Ми будемо полагати, що μ така, що простір L (R, dμ) сепарабельний.

Лема. Нехай (e (t)) , (f (t)) - два ортонормованих базиса в L (R, dμ). Система (e (t)f (s)) буде ортонормованим базисом в L (R R, dμ dμ).

Ми не будемо зупинятися на доведенні леми (його можна знайти в указаній літературі), а перейдемо до слідуючої теореми.

Розглянемо на L (R, dμ) інтегральний оператор (Ax)(t) = dμ(s).

Теорема. Інтегральний оператор в L (R, dμ) є оператором Гільберта – Шмідта в тому і тільки у тому випадку, коли його ядро k(t,s) L (R, dμ). Причому .

Доведення. Нехай (e (t)) - ортонормований базис в L (R, dμ). Тоді dμ(S)) dμ(t) = dμ(s) dμ(t).

Згідно леми (e (s) ) - ортонормований базис у L (R R, dμ dμ). Якщо k L (R R, dμ dμ), то з рівності Парсеваля маємо

Навпаки, якщо А S , то , звідки випливає, що k L (R R, dμ dμ).

Зауваження. Інтегральними операторами Гільберта – Шмідта ісгерується весь клас S ( L (R, dμ)). Дійсно, якщо А S ( L ), то покладемо k(t,s) = , де е (t) – ортонормований базис в L (R, dμ). Тоді k(t,s) L (R R, dμ dμ) (оскільки ряд збігається по норміі), (Ах)(t) = dμ(s).

Довести самостійно.