Скорость произвольной точки звена манипулятора

Для того, чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа-Эйлера, необходимо знать кинетическую энергию рассматриваемой физической системы, а следовательно, и скорости всех её точек.

Рассмотрим произвольную точку, неподвижную относительно i-го звена и заданную в системе координат i-го звена однородными координатами (рис. 5.1):

. (5-1)

Обозначим через координаты этой же точки относительно базовой системы координат. Матрица обозначает матрицу преобразования однородных координат, определяющую пространственное положение системы координат i-го звена относительно системы координат (i-1)-го звена, а -матрицу, определяющую связь между системой координат i-го звена и базовой системой координат.

Рисунок 5.1. Точка i-го звена

Тогда связь между и определяется соотношением:

, (5-11)

где . (5-12)

Если i-е сочленение – вращательное, то матрица имеет вид:

, (5-13)

Если i-ое сочленение – поступательное, то матрица имеет вид:

. (5-14)

В общем все ненулевые элементы матрицы являются функциями величин и , причём в зависимости от типа j-го сочленения или представляет собой присоединенную переменную этого сочленения, а остальные величины – известны (задаются конструкцией манипулятора). В выводах уравнений движения, как вращательных, так и поступательных, используется обобщённые координаты , , если i-е сочленение – вращательное и , если i-е сочленение – поступательное).

Скорость точки относительно базовой системы координат (при ):

. (5-15)

Частные произведение матрицы по переменным легко вычисляется с помощью матрицы , которая для вращательного сочленения имеет вид:

, (5-16а)

а для поступательного сочленения:

. (5-16б)

Используя эту матрицу, можно написать:

. (5-17)

Например, для манипулятора с вращательными сочленениями . Используя равенство (9-13), имеем:

Таким образом, для

(5-18)

По смыслу равенство (9-18) описывает изменение положения точек i-го звена, вызванное движением в j-м сочленении манипулятора. Для упрощения формул введём обозначение , с учетом которого равенство (9-18) можно представить для :

(5-19)

Используя введённое обозначение, формулу для можно записать в форме:

. (5-20)

Определяем величину, характеризующую эффект взаимодействия сочленений:

(5-21)

Например, для манипулятора вращательными сочленениями при и имеем:

.

Лекция 6 Кинетическая энергия манипулятора

Зная скорость произвольной точки каждого звена манипулятора, найдём кинетическую энергию i-го звена.

Обозначим через кинетическую энергию i-го звена (i=1, 2, …, n). Пусть кинетическую энергию элемента массы dmi-го звена. Тогда:

. (6-1)

Здесь вместо скалярного произведения используется оператор (след матрицы ), что в дальнейшем позволит перейти к матрице инерции i-го звена.

Подставляя в выражение (10-1) значение из равенства (9-20), получим выражение для кинетической энергии элемента массой dm:

(6-2)

Матрица характеризует положение точки i-го звена относительно базовой системы координат, обусловленное изменением координаты .

Данная матрица одинакова для всех точек i-го звена и не зависит от распределения массы в этом звене, также как и . Таким образом:

. (6-3)

Интегральный член в скобках представляет собой матрицу инерции i-го звена:

. (6-4)

Преобразуя выражения, получим:

, (6-5)

где однородные координаты центра масс i-го звена в i-й системе координат;

- тензор инерции, где i, j, k принимают значения x_i, y_i, z_i (оси i-ой системы координат), а - символ Кроникера.

Формулу (6-26) можно также записать в виде:

. (6-6)

Здесь и j, k=1, 2, 3, а - радиус вектор центра масс i-го звена в системе координат i-го звена. Таким образом, полная кинетическая энергия манипулятора равна:

. (6-7)

Отметим, что величина J_i (i=1, 2,…, n) зависит только от распределения массы i-го звена в i-й системе координат и не зависит ни от положения, ни от скорости звеньев. Это позволяет однажды вычислив матрицу J_i, использовать полученное значение в дальнейшем для вычисления кинетической энергии манипулятора.