18. Обратное дпф

Устройства, вычисляющие Фурье спектр, наз-ся Фурье-анализаторы или Фурье-преобразователи. Упрощенная блок схема:

АЦП – аналого-цифровой преобразователь,

АЧХ – амплитудно-частотная характеристика

ФЧХ – фазо-частотная характеристика

A(m/T)=

φ(m/T)=arctg(Im x(m/T)/Re x(m/T)).

По результату ДПФ анализируется АЧХ и ФЧХ. Для восстановления сигнала выполняется обратное ДПФ.

Получим обратное ДПФ из интегрального обратного преобразования Фурье, заменяя интегрирование приближенным суммированием.

X(

В сумму должны обязательно входить положительные и отрицательные частоты. Вычисляем спектр для положительных частот. Действительная часть обладает свойством четности

ReX( , а мнимая - нечетная ImX(

Используя четность и нечетность можно упросить.

Вычислим действительную и мнимую части (раскладываем у на cos и sin)

действительная часть восстановленного сигнала ImX(kT/N)=0-мнимая часть восстановленного сигнала . (2)-обратное ДПФ.

Все физические устройства определяют спектр только для положительных частот. В (2) входят значения только для положительных частот.

Используется обратное ДПФ в спектральных анализаторах, применяется также для сжатия информации в формате JPEG.

18. Частотная или амплитудная фильтрация.

Реальные сигналы кроме полезной информации содержат ненужную информацию в виде шумов, возникающих в канале передающих устройств в результате изменения внешних условий, колебаний в цепи приборов, узлов, условий окружающей среды, а также наложения других процессов. Чтобы исключить ненужную информацию, выполняется фильтрация спектра сигналов. Фильтрация по частоте – частотная, по амплитуде – амплитудная.

Частотная фильтрация применяется, когда частотный диапазон побочных сигналов известен. Например, механические вибрации узлов установки, колебания сети переменного тока. Частотная фильтрация заключается в том, что в заданном диапазоне частот действительные и мнимые части обнуляются. При ν Є [ν1; ν2],

Re x(ν)=0, Im x(ν)=0.

Амплитудная фильтрация применяется, когда амплитуда (энергия) побочного сигнала много меньше, чем основного. Например, малые случайные флуктуации параметров условий. Если амплитуда случайных помех невелика по сравнению с амплитудой основной составляющей спектра, то: Re x(ν)=0, Im x(ν)=0 при

После фильтрации сигнал восстанавливается по формуле обратного ДПФ

Использование в медицине: КТ, МРТ, ЭЭГ, ЭКГ и др.; также при шифровании, расшифровке, сжатии информации.

18. Быстрое преобразование фурье.

Алгоритм БПФ был предложен в работах Кули и Тьюки. БПФ требует Nlog2N операций, если число элементов в выборке N=2ⁿ. Для уменьшения количества операций разработан алгоритм. Основная идея БПФ состоит в том, чтобы разбить исходную N-точечную последовательность на 2 более короткие последовательности. ДПФ двух коротких последовательностей комбинируется так, чтобы получить ДПФ исходной последовательности. Рассмотрим N-точечную последовательность х_к=х(kΔt), где к = 0,1,…, N-1. и N=2ⁿ. Разобьем ее на две подпоследовательности х1(к) и х2(к) с четными и нечетными номерами:

х1(k) = х(2i) где i = 0,1,…, , k= 2i.

х2(k) = х(2j+1), где j = 0,1,…, , k= 2j+1

Шаг дискретизации Δt = 1. Запишем ДПФ исходной N-точечной последовательности:

(1)

Преобразуем формулу (1), используя две последовательности:

(2)

Выполнили дискретное преобразование исходной выборки, после преобразования получили сумму ДПФ первой и второй подпоследовательности. В итоге (3).

В формуле (2) первое слагаемое ДПФ – последовательность х1, второе – последовательности х2, W_n=e^-2Пi/N поэтому:

Х(m/N) = Х1( ) + е-^2πim/N Х2( ) (3)

ДПФ определено только в половине точек спектра, где m = 0,1,…, N/4-1.

В формуле (3) содержатся не все частоты спектра исходной последовательности, поэтому ее необходимо дополнить. Величина обладает свойством периодичности:

WmкN = е -^2πimк/N = Wm(к+N)N = е -^{2πimк/N -2πim} = е -^{2πim(к+N)/N} = е -^{2πimк/N е -2πim}

е ^-2πim = 1 => WmкN = Wm(к+N)N

Для вычисления всего спектра дополним (3)

(3)

При выводе (3) используем периодичность спектра.

Эту операцию можно повторить, т.е. разбить последовательности Х1 и Х2 каждую на две последовательности и применить к ним формулу (5) и т.д. Получим алгоритм БПФ. Для вычисления всего спектра Х1( ) необходимо выполнить (N/2)2 умножений и сложений, столько же для Х2( ), т.е. всего N2/2 операций. То есть в 2 раза меньше, чем для полного ДПФ. Уже в два раза меньше. Аналогично продолжая, получим для полного преобразования БПФ Nlog2N.

Существуют различные методы построения алгоритмов БПФ и разработаны электронные анализаторы БПФ. Одним из распространенных алгоритмов является пирамидальный алгоритм БПФ.

Для алгоритма Кули-Тьюки необходимо, чтобы исходная последовательность N содержала число элементов N=2ⁿ, n-любое целое число.