8. Фильтрация, как операция выполняемая измерительными приборами.

Фильтрация означает создание препятствий для прохождения каких-либо объектов.

Временная фильтрация – это операция прерывания или ослабления сигнала в течение некоторого промежутка времени.

Частотная фильтрация действует в частотном диапазоне аналогично временной.

Если устройство пропускает сигнал только в частотном диапазоне ׀ν-ν₀׀<Δν , то устройство пропускает частотную полосу шириной 2Δν.

Временной фильтр f(t)=1 пропускает сигнал в диапазоне ׀t-t₀׀<T

Временной фильтр - временной умножитель x’(t)=x(t)f(t) X(ν)*F(ν)

Временному фильтру в частотном представлении соответствует операция свертка, согласно теореме Планшереля (Пусть входной сигнал е(t) имеет Фурье-образ E(ν), а функция импульсного отклика линейной системы имеет Фурье-образ H(ν) h(t)↔H(ν), то сигнал на выходе S(t), который по определению равен e(t)*h(t), имеет Фурье-образ S(t)=e(t)*h(t) ↔E(ν) H(ν))

Частотный фильтр - частотный умножитель x’(ν)=X(ν)F(ν) x(t)*f(t)

Частотному фильтру в частотном представлении соответствует операция свертка.

Используется во всех измерительных приборах.

17. Дискретизация.

Современные измерительные приборы, в том числе и медицинские, являются цифровыми и измерения проводятся в дискретных промежутках времени. Математически описывается с помощью процедуры дискретизации.

При наблюдении непрерывных сигналов измерения производятся периодически через промежуток времени Т_е. Эта процедура называется дискретизацией с частотой дискретизации F_e=1/T_e. Математическая дискретизация производится с помощью гребневой функции Дирака:

Ш(t) = δ(t-kT_e) (1) Ш_Те – гребневая функция Дирака, T_e-шаг дискретизации

Гребневая функция во временном представлении действует как умножитель:

x̂(t)=x(t) Ш_Те(t), x̂(t)-дискретизированный сигнал

x̂(t)= x(kT_e) δ(t-kT_e)

В частном представлении операции дискретизации будет соответствовать свертка Фурье-образов исходного сигнала и гребневой функции.

X̂(ν)=F_e X(ν’) δ(ν-nF_e- ν’)dν’

Меняем порядок, интегрируем:

X̂(ν)=F_e Х(ν-nF_e)

=> спектр дискретизируемого сигнала представляет собой периодическую функцию с периодом F_e.

18. Теорема дискретизации коленьникова-шеннона.

При наблюдении непрерывных сигналов измерения производятся периодически через промежуток времени Т_е. Эта процедура называется дискретизацией с частотой дискретизации F_e=1/T_e. Идеальная дискретизация осуществляется с помощью бесконечно узких периодических импульсов, образующих гребневую функцию Дирака:

Ш_Те= δ(t-kT_e)

Пусть исходный сигнал x(t) имеет Фурье-образ X(ν) X(ν)

Спектр сигнала называется ограниченным, если x(ν)=0, при |ν|≥ F_M , где F_M -максимальная частота спектра.

Тогда процедура дискретизации не искажает спектр сигнала, если частота дискретизации F_e≥2F_M.

Доказательство:

Пусть x̂(t) – дискретизированный сигнал имеет Фурье-образ

x(t) x̂(t)= F_e Х(ν-nF_e) (1)

Из (1) следует, что Фурье-образ дискретизированного сигнала является периодическим с периодом F_e .

График Ф-образа дискретизированного сигнала:

Искажение спектра не происходит, если F_e≥2F_M.

Обратное утверждение:

Пусть F_e≥2F_M, тогда периодически повторяющиеся ветви не накладываются друг на друга, т.е. искажение спектра не происходит.