18. Теорема восстановления шеннона

Пусть x(t)-исходный сигнал имеет Ф-образ X(ν): х(t) ↔ X(ν) , выполняется условие F_e≥2F_{M .} Тогда сигнал x(t) в любой момент времени однозначно восстанавливается по дискретным значениям x(kT_e), k=0, ±1, ±2....(n-1).

Доказательство:

Обозначим x̂(t) – дискретизированный сигнал, который имеет спектр )

x̂(t) = F_e Х(ν-nF_e) (1)

Умножим правую и левую части (1) на единичную селектирующую функцию

1

П_Fe/2(ν)=

, νϵ[-Fe/2;+Fe/2]

0, ν¢[-Fe/2;+Fe/2]

x̂(ν) П_Fe/2=F_e X(ν) (2)

Единичная селективная функция имеет Ф-прообраз

П_Fe/2(ν) ↔

К (2) применим к левой и правой части обратное преобразование Фурье. Получаем:

x̂(t)* =F_ex(t)

Выполняя операцию свертка и использую δ-функцию Дирака получаем:

x(t)= x(kТ_e) -интерполяционная формула Шеннона (3)

Интерполяция-по известным измеренным значениям сигнала в дискретные моменты времени находят значение сигнала в любой момент времени

По этой формуле можно найти значение сигнала в любой момент времени по дискретизированному значению kТ_e

Выражение (3) показывает, что если выполняется условие F_e≥2F_M, то значение сигнала в любой момент времени t можно восстановить, зная последовательность дискретных значений сигнала x(k/F_e), где k=0, ±1, ±2.

18. Дискретизация, осуществляемая реальным устройством.

Реальное устройство искажает измерительный сигнал,так что сигнал измеренный в момент x(kTe)= x(τ)h(kT_e-τ)dτ (1)

где импульсный отклик системы для физического фильтра h(t)=0 при t ¢ [0; θ]. Поэтому введем сигнал x₁(t)=x(t)*h(t) равный свертке.

Дискретизированный сигнал x̂(t), измеряемый реальным устройством, есть произведение сигнала x₁(t) на гребневую функцию Дирака:

x̂(t)= x₁(t) Ш_Те(t)

Тогда Ф-образ дискретизированного сигнала x̂(t) = F_e Х(ν-nF_e) (2)

Если спектр x₁(ν) ограничен, т.е. x(ν)=0, при |ν|≥ F_{M ,} то применяем теорему восстановления Шеннона-Котельникова, получаем:

X₁(t)= x₁(kТ_e) (3)

Показывает, что для реального устройства используется значение сигнала, прошедшего через измерительное устройство, которое не совпадает со значением исходного сигнала.

18. Дискретное преобразование фурье.

Если Ф-образ сигнала x(t) существует, то спектр х(ν) вычисляется:

x(ν)= x(t) e^-2πίνtdt (1)

Исходный сигнал измеряется в дискретные моменты времени. В результате измерений получается последовательность значений x(kΔt), k=0…N-1.

Предположим, что исходный сигнал продолжается на всю ось периодически с периодом T=N Δt, тогда минимальная частота ν₀=1/T=1/NΔt

Для того, чтобы процедура дискретизации не искажала спектр сигнала частота дискретизации

F_е=1/Δt=2 F_M где F_M – максимальная частота спектра F_M=1/2Δt

Разделим правую и левую части на ν₀:

М= F_M/ ν₀=N/2 – число точек спектра, N – количество значений измеренного сигнала.

Дискретизируем (1). Заменяем интеграл на сумму и получаем:

X(m/T)=T/N x(kT/n)e^-2πί(mk/N) , где m=0, 1,…, (N/2)-1 – формула дискретного преобразования Фурье.

Для вычисления спектра дискретного сигнала необходимо выполнить N² операций умножения и сложения.