8. Свертка как операция, выполняемая измерительными приборами.

Свертка – это математическая операция, которая производится измерительными приборами и в результате которой получается размытое изображение изучаемого предмета. Пусть е(t) - входной сигнал поступает на вход устройства, им. функцию импульсного отклика h(t). На выходе амплитудного анализатора получаем s(t) – искаженный сигнал, несовпадающий с входным сигналом.

Устройством является, например, амплитудный анализатор. Пусть на вход амплитудного анализатора поступает импульс бесконечно малой продолжительности e(t)=δ(t). Соответствующий ему сигнал на выходе называется импульсным откликом измерительной системы.

Рассмотрим прямоугольный импульс на некотором промежутке времени. Например, Δt до 2Δt. Сигнал на входе разбиваем на части. Аппроксимируем сигнал.

Если будем уменьшать, то сигнал будет стремиться к бесконечности. Получим отклик S₁=e(Δt)*h(t-Δt)* Δt-вид отклика системы на прямоугольный импульс. Просуммируем вклады всех прямоугольных импульсов, изображенных на рисунке по всему сигналу, и устремим промежуток .

Тогда S(t)= e(τ) h(t-τ) dτ - интегральное преобразование математического выражения операции свертка

S(t)= e(t)*h(t) – символическая запись операции свертка

Операцию свертка выполняет любое измерительное устройство, в том числе и ЭКГ, ЭЭГ.

Для физических фильтров функция отклика системы h(τ)=0 при τ<0. Для каждого фильтра существует h(τ)=0 при τ<0. Зная входной сигнал е(τ), τ<Т (Т-период) и импульсный отклик h(t), с помощью операции свертка можно получить выходной сигнал.

Для фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ) область определения линейного отклика ограничена h(τ)=0, τ>0. Если h(τ) 0 при τ→∞, то это фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).

Цифровые фильтры делятся на 2 класса: рекурсивные и нерекурсивные. В нерекурсивных, или трансевальных, отклик зависит только от значения входной последовательности и для формирования каждого выходного отсчета используется только предыдущие значения входных отсчетов (эта ситуация используется при выборе операции свертка). Нерекурсивные имеют конечное число отсчетов импульсных характеристик – это КИХ фильтры.

В рекурсивных фильтрах входной отсчет формируется значениями как входных, так и выходных дискретных сигналов. Это достигается введением в схему фильтра обратной связи. Рекурсивные фильтры имеют импульсные характеристики с бесконечным числом отсчетов (БИХ фильтры). Зная входной сигнал е(τ), τ<t и импульсный отклик системы h(t), с помощью операции свертка всегда можно найти выходной сигнал.

Задача определения импульсного отклика линейной системы, т.е. функции h(τ) по известным входному и выходному сигналам, называется проблемой идентификации системы. Задача определения входного сигнала по известному выходному сигналу и импульсному отклику линейной системы называется обратной задачей. Эти задачи разрешимы лишь в частных случаях или приближенных.

8. Теорема планшереля.

Пусть входной сигнал е(t) имеет Фурье-образ E(ν), а функция импульсного отклика линейной системы имеет Фурье-образ H(ν) h(t)↔H(ν), то сигнал на выходе S(t), который по определению равен e(t)*h(t), имеет Фурье-образ

S(t)=e(t)*h(t) ↔E(ν) H(ν) или

Аналогично свертке в частотном представлении соответствует во временном представлении:

E(ν)*H(ν) ↔e(t) h(t)

Доказательство:

По определению операции свертка

S(t)= e(τ) h(t-τ) dτ (1)

Фурье представление исходного сигнала

e(t)= E(ν)e^2πίνtdν (2) i-мнимая единица Ф-образа ф-ции E(ν), ν=1/Т по условию

Фурье представление функции импульсного отклика сигнала

h(t)= H(ν)e^2πίνtdν (3)

Подставим (3) и (2) в (1)

Используем δ-функции Дирака δ (ν^’-ν)= e ^{-2πί(ν’-ν)τ} dτ (4)

Получаем S(t)= E(ν)H(ν)e^2πίνt dν - интегральное представление Фурье. Отсюда следует S(ν)↔E(ν) H(ν) – Фурье-образ выходного сигнала равен произведению Фурье образа входного сигнала и Фурье-образа функции импульсного отклика.

Свойства δ-функции Дирака:

Δ (х)= 0, х

, х=0

Теорема используется в ЯМР-томографии, Фурье преобразователи, ЭКГ, ЭЭГ.