9. Дифференциальные уравнения первого порядка. Неполные дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у и её производную первого порядка у':F (x,y,y')=0 (1)

Если уравнение (1) можно решить относительно y', то его записывают в виде y'=f(x,y).

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной.

Неполные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка  называются неполными, если в нем не содержится (явно) или сама функция у, или независимая переменная х.

В том случае, когда правая часть дифференциального уравнения не содержит самой функции у, оно принимает вид:   или , или .

Отсюда .

Таким образом, получено общее решение неполного дифференциального уравнения. Фактически это задача об отыскании первообразной функции (т.е. это непосредственно задача неопределенного интеграла).

Во втором случае, т.е. когда дифференциальное уравнение имеет вид , т.е. в уравнение явно не входит независимая переменная х.

Дифференциальное уравнение принимает вид

, т.е. получаем у – как независимую переменную, а х – как функцию от у (фактически это обратная функция по отношению к функции у от х).

10.Уравнения с разделяющимися переменными.

1.Наиболее простым дифференциальным уравнением 1-го порядка является уравнение вида: P(x)dx+Q(y)dy=0

Иногда такие уравнения называют- уравнениями с разделенными переменными.

Проинтегрировав это уравнение получим его общий интеграл –

.

2.Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид

Его особенность в том, что коэффициенты dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна зависит от y, другая от х.

3.Уравнение также сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

11.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде , где g- некоторая функция одной переменной.

Функция f (x,y) называется однородной степени k (по переменным y и х), если для произвольного числа α выполняется равенство f (αx,αy)= .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде y'+f(x)y=g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции переменно х.

В случае, когда функция g(x) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

12.Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение Бернулли имеет вид y'+p(x)y=q(x)* , где n R, n≠0, n≠1.

При n=0 уравнение становится линейным, при n=1 – уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнения в полных дифференциалах.

Если в дифференциальном уравнении P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 функции P(x,y) и Q(x,y) удовлетворяют условию , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

13.Дифференциальные уравнения n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Дифференциальные уравнения n-го порядка в общем виде записываются как :

F(x,y,y',y'',…, =0 или .

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка является функцией вида: y= ɸ(x, ), содержащей n произвольных, не зависящих от х постоянных.

Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется решение, получающееся из общего решения при подстановке конкретных значений произвольных постоянных = , = ,…, = .

Задача Коши для уравнений n-го порядка: среди всех решений уравнения требуется найти решение y=y(x), для которого функция y(x) вместе со своими производными до (n-1)-го порядка включительно принимает заданные значения при заданном значении аргумента х. То есть выполняются условия:

y( ­)= , y'( ( = .

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода заключается в сведении дифференциального уравнения n-го порядка к дифференциальному уравнению более низкого порядка путем введения новой неизвестной функции. Существует несколько типов дифференциальных уравнений, к которым можно применить указанный метод.

1. Уравнение вида решается последовательны n- кратным интегрированием правой части. При каждом интегрировании имеем одну произвольную постоянную, а в окончательном результате n произвольных постоянных величин.

2. Уравнения, не содержащие явно неизвестную функцию y и её производных до порядка k-1 включительно записываются в общем виде, как: F(x, )=0.

3. Уравнения, не содержащие явную переменную х, может быть записано в общем виде : F(y,y',…, )=0. Порядок уравнений такого вида можно понизить, если сделать замену y'=p, где p- функция, зависящая от y.

4. Так как y'=