Ответы по теории к экзамену по дисциплине «Математический анализ»

2- й семестр.

1.Понятие определенного интеграла. Понятие интегральной суммы, предел интегральной суммы. Геометрический, физический и экономический смысл.

Если предел существует независимо ни от способов разбиения отрезков на участки, ни от выбора точек , то он называется определенным интегралом и обозначается как .

Интегральная сумма – это величина двух произведений, то есть сумма площадей прямоугольников, то есть приближенное значение площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями.

Предел интегральной суммы – это число a и b, при этом число а- нижний предел, а число b – верхний предел.

Геометрический смысл производной

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

Экономический смысл производной.

Производная выражает предельные издержки производства. Величину Mf(x) = y' называют мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определить предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и другие предельные величины.

2.Необходимые условия, достаточные условия существования, свойства определенного интеграла.

Необходимое условие:

Теорема 1. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Достаточные условия:

Теорема 2. Если функция у= f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема.

Теорема 3. функция у= f (x) монотонна на отрезке [a,b], то она интегрируема.

Теорема 4. функция у= f (x) ограничена на отрезке [a,b] и непрерывна во всех точках [a,b], кроме конечного числа точек, в которых она имеет разрыв 1 рода, то она интегрируема.

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

3.Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона – Лейбница.

Функция у= f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f (x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f (x) на [a,b] равен приращению первообразной на этом отрезке, то есть .

При применении формулы Ньютона – Лейбница можно использовать любую первообразную F (x).

4. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Замена переменных в определенном интеграле выполняется аналогично замене переменных в неопределенном интеграле. Необходимо изменить пределы интегрирования.

Пусть выполняются следующие условия:

1. Функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b];

2. Функция х = ɸ(t) непрерывна вместе со своей производной x=ɸ'(t) на отрезке [α,β] ;

3. а=ɸ(α), b=ɸ(β);

4. Функция f(ɸ(t)) ɸ'(t)dt –формула замены переменной в определенном интеграле.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Если функции u=u(x) и ʋ=ʋ(x) дифференцируемы на отрезке [a,b], то

–формула интегрирования по частям в определенном интеграле.