Формула полной вероятности и формула байеса
全概率公式和贝叶斯公式
3.1. Основы экспертного оценивания 基本评估
Пусть
относительно наступления события А
можно выдвинуть n
попарно несовместных гипотез
.
. .
,
априорные вероятности которых известны:
. . . ,
.
Обычно предполагают, что гипотезы
образуют полную группу, т.е. выполняется
условие让事件A相对抽出n对不相容的假设为
.
. .
,先期已知的概率为
. . . ,
，一般假定组成完整分组，满足下面条件：
.
. .
.
(3.1)
Событие
А
может
наступить только вместе с одной из
гипотез, причем известны условные
вероятности наступления этого события
. . . ,
.
Тогда вероятность наступления события
А
может быть вычислена по формуле полной
вероятности:事件A发生出现一种假定的概率为
. . . ,
，那么发生事件A的全概率可根据公式得出：
.
. .
+
.
(3.2)
Пусть событие А произошло. Тогда можно переоценить вероятности гипотез, которые приводят к появлению этого события. Апостериорные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:让事件A发生，那么可以假定发生的概率。实际发生的概率可以根据贝叶斯公式求得：
,
,
(3.3)
где
вычисляется по формуле полной вероятности
(3.2).
Если
событие А не
произошло, это означает, что произошло
противоположное событие
.
Его вероятность
находится по формуле полной вероятности,
аналогичной (3.2). При этом вероятности
гипотез не меняются, а условные вероятности
наступления события
находятся по формуле вероятности
противоположного события:
如果事件A没有发生，这意味着发生对立事件A，它的概率可根据全概率公式得到。这个情况下假定不发生变化，那么事件A发生的条件可根据对立事件公式得出：
.
Апостериорные
вероятности гипотез
находятся
по формуле Байеса, аналогичной (3.3).
Пример решения типового задания по теме «Формула полной вероятности и формула Байеса»例题解答
Задание № 3. На курсе 120 студентов обучаются по направлению подготовки «Регионоведение», 70 – «Реклама». Абсолютная успеваемость студентов – регионоведов составляет 85%, студентов-рекламщиков – 55%. 《区域学》有120名学生，《广告学》有70名。顺利结束学业的学生《区域学》85％，《广告学》55%。
1. Какова вероятность, что случайно выбранный студент данного курса – успевающий?随机抽取到顺利结业学生的概率
2. Найти вероятность, что этот студент обучается по направлению подготовки «Реклама». 求抽取到《广告学》学生的概率
Решение. Событие А – выбранный студент успевающий. Выбранный студент может обучаться по одному из двух направлений подготовки, т.е. рассматриваем две гипотезы:事件A－顺利结业，所选学生可以学习其中一个方向，那么分析两种情况
– студент
обучается по направлению
«Регионоведение»,学生学习《区域学》
– студент
обучается по направлению «Реклама».学生学习《广告学》
Тогда вероятности гипотез равны процентным долям студентов этих направлений относительно общего числа студентов курса. На курсе учится 120 + 70 = 190 студентов. Поэтому вероятности гипотез можно вычислить так:那么概率等于学习各专业方向除以总人数。总人数味190人，所以：
,
.
Заметим, что выполняется условие (3.1), что делает возможным впоследствии применять формулу Байеса. Действительно如果满足（3.1）的条件，就可以使用贝叶斯公式。
.
Вероятность того, что студент-регионовед успевает равна 85%, т.е.
.
Аналогично для студента-рекламщика
.
Тогда вероятность того, что выбранный студент успевающий, можно найти по формуле полной вероятности (3.2):所选顺利结业学生的概率，可以用全概率公式求得：
.
Значит, абсолютная успеваемость студентов курса составляет примерно 74%. 也就是说整个年级学生合格率为74%.
Найдем вероятность того, что выбранный случайным образом студент обучается по направлению «Реклама». Применяем формулу Байеса (3.3):求随机抽取的学习《区域学》的学生概率，可通过贝叶斯公式求得：
.
Вероятность составляет примерно 27%. Это немного, и вполне укладывается в представления житейской логики – действительно, и студентов-рекламщиков на курсе меньше и доля успевающих среди них ниже, чем среди регионоведов.概率大约是27%，这个概率不大，也是遵循逻辑可信的，那么年级中广告学学生更少，并且顺利结业的学生也更少。