1. Выбор на основе классического определения вероятности

古典概率定义的基本选择

1. 1. Основы выбора на базе классического определения вероятности

Пусть имеется n элементов, различающихся свойствами или качествами. Причем среди них r элементов одного типа, l элементов другого типа и т.д., q элементов последнего типа, так что выполняется условие 设有n个元素，具有不同性质，在其中有r个元素是同一类型，l个元素是另一类型，以此类推，q个元素是最后一类，那么满足条件

n = r + l + … + q.

Случайным образом отбирают m элементов, причем порядок выбора не важен, важен только состав отобранной группы элементов. Вероятность того, что в отобранной группе оказалось k элементов первого типа, j элементов второго типа и т. д., i элементов последнего типа, так чтобы 设随机选择m个元素，选择顺序不重要，但选择元素分类重要。那么概率为，第一类k个元素，第二类j个元素，以此类推，最后一类i个元素，那么

m = k + j + … + i,

вычисляется по формуле根据公式计算

, (1.1)

где其中 ‑ число сочетаний из n элементов по m:

. (1.2)

Полезно знать и уметь использовать следующие свойства сочетаний: 了解并使用下列属性的组合：

1.

2. (1.3)

3. .

1.2. Решение типового задания по теме «Выбор на основе классического определения вероятности» 解题方法

Задание № 1. В академической группе 10 студентов проживают в Санкт-Петербурге, 7 приехали из других городов России и 3 иностранца. На прием в деканат пришли 5 студентов из этой группы. Найти вероятности событий:在班级中有10名学生住在圣彼得堡，7名来自俄罗斯其他城市，有3名外国学生。在系主任接待时间到来5名学生。求事件概率：

А. Все – из Санкт-Петербурга.全部来自圣彼得堡

В. 2 – из других городов России и 3 иностранца.2名来自俄罗斯其他城市，3名外国学生

С. 3 – из Санкт-Петербурга, 1 – из другого города России и 1 иностранец. 3名来自圣彼得堡，1名来自俄罗斯其他城市，1名外国学生

D. Все иностранцы пришли на прием.外国学生都来了

Решение. Поскольку порядок выбора не важен в условиях задачи, то пользуемся формулой (1.1).解题时选择顺序不重要，那么根据公式

Определим значения параметров: n = 20, m = 5, r = 10, l = 7, q = 3.

Найдем Р(А). Изобразим графически схему выбора. В левом блоке – общее число участников выбора (20) и их распределение по трем категориям – жители Петербурга, другие россияне и иностранцы (10 + 7 + 3). Стрелки означают выбор. Стрелка слева направо показывает выбор общего числа, вне зависимости от категорий. Стрелки сверху вниз указывают на конкретный выбор из каждой категории. 求概率Р(А)。绘制选择图像，左侧总数20，分为3类，彼得堡、俄罗斯其他城市、外国学生（10＋7+3），剪头代表选择，右指剪头表示选择总数，下指剪头表示分类。

20				5
10	7	3
5	0	0

Тогда параметры задачи принимают значения: k = 5, j = i = 0.

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний .

Тогда

Найдем Р(В). Изобразим графически схему выбора求概率Р(В)可同上绘制选择图像

20				5
10	7	3
0	2	3

Тогда параметры задачи принимают значения: k = 0, j = 2, i = 3.

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний

.

Тогда

Найдем Р(С). Изобразим графически схему выбора求概率Р(C)可同上绘制选择图像

20				5
10	7	3
3	1	1

Тогда параметры задачи принимают значения: k = 3, j = 1, i = 1.

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний .

Тогда

Вычисленные вероятности событий А, В и С вполне подтверждаются обыденной логикой. Например, студенты из Санкт-Петербурга составляют половину всей академической группы и не встретить их около деканата среди других студентов этой группы – маловероятное событие. Действительно, вероятность события В – наименьшая из всех вычисленных, в частности она приблизительно в 160 раз меньше ближайшей к ней по значению вероятности события С.求事件A、B、C发生的概率有相应的逻辑性。例如，极小可能发生：全部圣彼得堡学生都在系主任接待时间集合而不会遇到其他学生。而发生B的可能性更小，发生C的概率是B的几乎160倍。

Для того, чтобы найти Р(D), необходимо изменить схему выбора. Действительно, на прием в деканат пришли все иностранцы, т.е. 3 из 3. Для ответа на вопрос задачи не важно, какие именно 2 других студента пришли на прием. То есть выбор производится из двух категорий: «иностранцы» и «не иностранцы». 要求得概率D，需要改变绘制图像的结构，当然3明外国学生全部都到，那么就只在两类中选择：外国学生和非外国学生。Поэтому исходные параметры таковы: 所以

n = 20, m = 5, r = 3, l = 17 (количество «не иностранцев» l = 20 – 3 = 17). Графическая схема выбора такова:

20				5
3	17
3	2

Тогда параметры задачи принимают значения: k = 3, j = 2.

Тогда

Вычислим

В соответствии со свойствами сочетаний .

Тогда

Действительно, выбор всей малочисленной категории с математической точки зрения маловероятен, что и демонстрирует значение вероятности события D.从数学的角度发生D的可能性最小。