1. Теорема о движении центра масс механической системы.

Рассмотрим движущуюся систему мат. точек М₁, М₂, М_i, M_n, находящихся под действием внешних и внутренних сил (рис). Положение центра масс системы С определяется равенством

r_c = ∑m_ir_i/m. Уравнения движения точек этой системы имеют вид

m_i d²r_i/dt² = P_i^E + P_i^J ; (i = 1, 2, …, n), суммируем эти уравнения:

∑m_i d²r_i/dt² =∑ P_i^E + ∑ P_i^J (а). Преобразуем левую часть равенства, учитывая (r_c = ∑m_ir_i/m) получаем: ∑m_i d²r_i/dt² = d²/dt² * ∑m_i r_i = d²/dt² * (mr_c) = md²r_c/dt². Геометрическая сумма внутренних сил равна 0. Уравнение (а) приобретает вид: md²r_c/dt² = ∑P_i^E = R^E или

ma_C = ∑ P_i^E = R^E (в). т.е. произведение массы системы на ускорение её центра масс = геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил. Уравнение (в) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: Центр масс мех. сис. движется как мат. точ. массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.

Проецируя на оси x, y, z – mx_C = ∑ X_i^E = X^E

2. Теорема о моментах инерции твёрдого тела относительно параллельных осей.

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. Допустим, что задана ось Oz₁. Для доказательства теоремы проведём через центр масс тела С три взаимно перпендикулярные оси, из которых ось Сz параллельна заданной оси Oz₁, а ось Су лежит в плоскости параллельных осей Сz и Oz₁ (рис а, в). Обозначим d – расстояние между осями Cz и Oz₁. для вычисления моментов инерции тела относительно осей Cz и Oz₁ опустим из каждой точки M_i рассматриваемого тела перпендикуляры r_i и h_i на оси Cz и Oz₁. Выразим длины этих перпендикуляров через координаты этих точек:

r_i² = x_i² + y_i², h_i² = x_i² + (y_i – d)² = x_i² + y_i² + d² – 2y_id = r_i² + d² – 2y_id. (a)

Определим моменты инерции тела относительно осей Cz и Oz₁:

J_Cz = ∑ m_ir_i², J_z1 = ∑ m_ih_i².

Применив зависимость (а): J_z1 = ∑ m_ir_i² + ∑ m_id² – 2∑m_iy_id. (в)

Здесь ∑ m_i = m. – масса тела. Из формулы y_c = ∑ m_iy_i/m, получим:

∑ m_iy_i = my_c, так как y_c = 0, то ∑m_iy_i = 0. Подставляя это значение в равенство (в), получаем зависимость, установленную теоремой:

J_z1 = J_cz + md² . (г). Формула (г) показывает, что из совокупности паралельных осей ось, проходящая через центр масс тела, характеризуется наименьшим моментом инерции. Полярный момент тв. тела относительно центра масс: J_c = ½ * (J_cx + J_cy + J_cz). Отсюда следут, что ценр масс тела явл. полюсом, относительно которго полярный момент инерции тела имеет наименьшее возможное значение.

Воспользуемся формулой (г) для установления зависимости между радиусами инерции твёрдого тела i_cz и i_z1 относительно осей Cz и Oz_1.

J_z1 = mi_z1², J_cz = mi_cz², тогда mi_z1² = m_cz² + md², откуда i_z1² = i_cz² + d².

3. Теорема об изменении количества движения механической системы.

Изменение количества движения мех. сис. за некотрый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил приложенных к системе за тотже промежуток времени.

K = ∑ m_кυ_к; K = ∑ m_кdr_к/dt = d/dt * ∑m_кr_к = d/dt * mr_c = mdr_c/dt = mυ_c => K = mυ_c. Найдём призводную: dK/dt = d(mυ_c)/dt = mdυ_c/dt = ma_c

Но из теоремы о движении ценра масс мех. сис. ma_c = R^E = ∑ P_к^E; dK/dt = ∑ P_к^E. Проинтегрируем это выражение: ∫_к1^к2 dK = ∫_t1^t2∑P_к^Edt;

k₂-k₁=∑S_к^E – ч.т.д.