Темы лабораторных работ по курсу
«Математические методы моделирования»
(«Вычислительная математика»)
I семестр
Вычислительные методы линейной алгебры
-
Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратными матрицами общего вида.
-
Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратными симметричными матрицами.
-
Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратными симметричными положительно-определёнными матрицами.
-
Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратными ленточными матрицами общего вида.
-
Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратными симметричными ленточными положительно-определёнными матрицами.
-
Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратными разреженными матрицами общего вида.
-
Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратными симметричными разреженными положительно-определёнными матрицами.
Задание к работам 1-7
Напишите программу для решения с обычной
(а затем и с двойной) точностью
системы линейных алгебраических
уравнений
,
в которой квадратная матрица и правая
часть зависят от параметра р.
Параметр выбран так, что при всех его
значениях существует один и тот же
вектор х.
Матрица, вектор правой части и дополнительная информация о системе уравнений содержатся в файлах, выдаваемых преподавателем.
Для решения систем использовать программы из библиотеки IMSL, входящей в состав Compaq Visual Fortran.
Применить программы из библиотеки IMSL дающие оценку числа обусловленности матрицы или его обратной величины.
Написанная программа должна выводить в файл следующие данные:
фамилию, имя и номер группы автора программы
значение параметра р,
матрицу и правую часть системы уравнений,
оценку числа обусловленности матрицы
и
оценку обратной величины числа
обусловленности
,
найденное приближённое решение
,
вектор невязки
,
оценку погрешности решения
из неравенства
,
где
Дайте письменные ответы на следующие вопросы:
-
Как изменяется число обусловленности матрицы с уменьшением значения параметра р?
-
Что происходит с системой при
? -
Сравните при одних и тех же значениях р решения, найденные с обычной и двойной точностью. Почему при
решения
отличаются больше, чем при других
значениях р? Если решения при
получить
не удаётся, то в чём причина?
Отправьте файл преподавателю для проверки.
II семестр
-
Вычисление всех собственных чисел и собственных векторов симметричной матрицы.
-
Вычисление всех собственных чисел и собственных векторов несимметричной матрицы.
Аппроксимация функций, численное дифференцирование и интегрирование с использованием библиотеки imsl
-
Аппроксимация функций интерполяционным кубическим сплайном с помощью программы CSIEZ
-
Аппроксимация функций и их производных интерполяционным кубическим сплайном с помощью CSINT и CSDER
-
Аппроксимация функций интерполяционными В- сплайнами программой DBSINT
-
Аппроксимация функции от двух переменных интерполяционными двумерными сплайнами В- сплайнами программой DBS2IN
Задание к работе 1
Напишите программу для решения с обычной
(а затем и с двойной) точностью
задачи на собственные значения
,
в которой квадратная матрица зависит
от параметра р.
Информация о матрице содержится в файлах, выдаваемых преподавателем.
Для решения задачи использовать программы из библиотеки IMSL, входящей в состав Compaq Visual Fortran.
Дополнительно вычислить индекс выполнения (performance index), используя программу из библиотеки IMSL.
Написанная программа должна выводить в файл следующие данные:
фамилию, имя и номер группы автора программы
значение параметра р,
матрицу,
найденные собственные числа матрицы
,
найденные собственные векторы
,
индекс выполнения (performance index)
векторы невязок
,
проверку ортогональности собственных векторов
Дайте письменные ответы на следующие вопросы:
1. Как изменяется наименьшее по модулю собственное число матрицы с уменьшением значения параметра р?
2. Что происходит с матрицей при
?
3. Сравните при одних и тех же значениях р решения, найденные с обычной и двойной точностью.?
-
Что такое индекс выполнения (performance index) в библиотеке IMSL и каков его смысл ?
Задание к работе 2
Напишите программу для решения с обычной
(а затем и с двойной) точностью
задачи на собственные значения
,
в которой квадратная матрица зависит
от параметра р.
Информация о матрице содержится в файлах, выдаваемых преподавателем.
Для решения задачи использовать программы из библиотеки IMSL, входящей в состав Compaq Visual Fortran.
Дополнительно вычислить индекс выполнения (performance index), используя программу из библиотеки IMSL.
Написанная программа должна выводить в файл следующие данные:
фамилию, имя и номер группы автора программы
значение параметра р,
матрицу,
найденные собственные числа матрицы
,
найденные собственные векторы
,
индекс выполнения (performance index)
векторы невязок
,
Дайте письменные ответы на следующие вопросы:
1. Как изменяется наименьшее по модулю собственное число матрицы с уменьшением значения параметра р?
2. Что происходит с матрицей при
?
3. Сравните при одних и тех же значениях р решения, найденные с обычной и двойной точностью.?
Что такое индекс выполнения (performance index) в библиотеке IMSL и каков его смысл ?
Задание к работе 3
Напишите программу с одинарной точностью
для аппроксимации заданной функции
интерполяционным кубическим сплайном
,
используя программу CSIEZ из библиотеки
IMSL.
Оцените погрешность аппроксимации
функции сплайном для числа разбиений
интервала N=10, 20, 40, 80, 160.
Погрешность аппроксимации оцените по
формуле
,
где
.
Написанная программа должна выводить в файл следующие данные:
фамилию, имя и номер группы автора
программы,
,
a, b,
N, и
.
Для каждого N постройте
графики
и
.
Дайте письменные ответы на следующие вопросы:
Как изменятся погрешность
с
увеличением числа разбиений? Найдите
отношения погрешностей ε для двух
соседних разбиений.
Сравните полученные результаты с
теоретической оценкой
.
Задание к работе 4
Напишите программу с одинарной точностью
для аппроксимации заданной функции
,
и её первых трёх производных интерполяционным
кубическим сплайном
,
используя программы CSINT
и CSDER из библиотеки IMSL.
Вычислите
,
используя CSITG.
Оцените погрешность аппроксимации
функции, производных и интеграла сплайном
для числа разбиений интервала N=10,
20, 40, 80, 160. Погрешность аппроксимации
функции и её производных оцените по
формуле
,
где
.
Погрешность вычисления интеграла
Написанная программа должна выводить в файл следующие данные:
фамилию, имя и номер группы автора программы
,
a, b,
N,
и отношения погрешностей для двух
соседних разбиений для функции,
производных и интеграла.
Для каждого N постройте
графики
и
.
Дайте письменные ответы на следующие вопросы:
Как изменятся погрешность аппроксимации функции, производных и интеграла с увеличением числа разбиений? Сравните, полученные результаты с теоретической оценкой.
Как будет вести себя погрешность аппроксимации функции при дальнейшем увеличении N ?
Задание к работе 5
Напишите программу с двойной
точностью для аппроксимации заданной
функции
,
интерполяционными В- сплайнами
,
где k-степень сплайна,
используя программы DBSINT
из библиотеки IMSL.
Оцените погрешность аппроксимации
функции сплайном для числа разбиений
интервала N=10, 20, 40, 80 при
k=1, 2, 3, 4, 5. Погрешность
аппроксимации функции оцените по формуле
,
где
.
Написанная программа должна выводить
в файл следующие данные:
фамилию, имя и номер группы автора программы
,
a, b,
N,
и отношения погрешностей для двух
соседних разбиений для функции
Для фиксированного к постройте
графики
и
при различных N.
Дайте письменные ответы на следующие вопросы:
Как изменятся погрешность аппроксимации функции с увеличением числа разбиений для различных к?
Задание к работе 6
Напишите программу с двойной
точностью для аппроксимации заданной
функции
,
,
интерполяционными двумерными сплайнами
В- сплайнами, представленными тензорным
произведением
,
где k-степень сплайна,
используя программы DBS2IN
из библиотеки IMSL.
Оцените погрешность аппроксимации
функции и первых производных по x,
y сплайном для числа
разбиений интервала N=10,
20, 40, 80 при k= 3 (кубический
сплайн). Используйте функцию DBS2DR.
Погрешность аппроксимации функции
оцените по формуле
,
где
;
.
Написанная программа должна выводить
в файл следующие данные:
фамилию, имя и номер группы автора программы
,
a, b,
c, d,
N,
и отношения погрешностей для двух
соседних разбиений для функции и первых
производных.
Постройте графики
и
при различных N.
Дайте письменные ответы на следующие вопросы:
Как изменятся погрешность аппроксимации функции и первых производных с увеличением числа разбиений?
Вид функций для двумерной интерполяции
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
,
8.
,
9.
,
10.
,
11.
,
12.
,
13.
,
Таблица 1. Вид функций для одномерной интерполяции
|
№ |
Вид функции f(x) |
Интервал [a,b] |
№ |
Вид функции f(x) |
Интервал [a,b] |
|
1 |
|
|
12 |
|
|
|
2 |
|
|
13 |
|
|
|
3 |
|
|
14 |
|
|
|
4 |
|
|
15 |
|
|
|
5 |
|
|
16 |
|
|
|
6 |
|
|
17 |
|
|
|
7 |
|
|
18 |
|
|
|
8 |
|
|
19 |
|
|
|
9 |
|
|
20 |
|
|
|
10 |
|
|
21 |
|
|
|
11 |
|
|
22 |
|
|
