2. Сумма и произведение событий

事件的发生与总和

2.1. Основы алгебры событий 基本事件代数

Пусть событие А₁ может произойти с вероятностью р или не произойти с вероятностью q = 1-p. Пусть опыт, в котором может появиться событие А₁ , повторяется два раза. Тогда, принимая во внимание правила умножения и сложения вероятностей, можно найти вероятности следующих событий: 让事件А₁可能发生概率为р或者不会发生的概率为q = 1-p 。进行事件А₁的实验，重复两次。那么有以下概率加法与乘法的规则：

А – событие А₁ не произойдет ни разу, ;一次都不发生，

В – событие произойдет только 1 раз, ;只发生一次

С – событиеА₁ произойдет 2 раза, ;发生两次

D – событие произойдет хотя бы 1 раз, это событие противоположно событию А, . 至少发生一次，这是对立事件。

Пусть теперь опыт, в котором может появиться событие , повторяется три раза. Тогда, принимая во внимание правила умножения и сложения вероятностей, можно найти вероятности следующих событий:现在开始进行事件А₁实验，重复三次。那么那么有以下概率加法与乘法的规则：

А – событие не произойдет ни разу, ;一次都不发生

В – событие произойдет только 1 раз, ;只发生一次

С – событие произойдет 2 раза, ;发生2次

D – событие произойдет 3 раза, ;发生3次

E – событие произойдет хотя бы 2 раза, значит оно произойдет или 2 раза или 3 раза, ;至少发生2次，也就是说可能2次可能3次

F – событие произойдет хотя бы 1 раз, это событие противоположно событию А, .至少发生1次，这是对立事件。

Рассмотрим более сложную ситуацию. Пусть событие может произойти с вероятностью или не произойти с вероятностью . Независимо от этого событие может произойти с вероятностью или не произойти с вероятностью . Тогда, принимая во внимание правила умножения и сложения вероятностей, можно найти вероятности следующих событий:分析更复杂的情况。让事件 发生概率为 或者不发生概率为 。独立事件 发生概率为 或者不发生概率为 ，那么

А – ни одно из событий и не произойдет, ;没有任何事件发生

В – произойдет только одно событие или , ;只有其中一种发生

С – произойдут оба события и , ;两种同时发生

D – произойдет хотя бы одно событие или , или оба вместе, это событие противоположно событию А, .至少发生其中一种，或者同时发生，这是对立事件。

2.2. Решение типового задания по теме «Сумма и произведение событий» 例题解答

Задание № 2. Студент может получить на экзамене пятерку с вероятностью 60%, четверку – с вероятностью 30% и тройку с вероятностью 10%. Студенту надо сдать 3 экзамена. Найти вероятности событий:学生在考试中可能获得5分的概率为60%，得4分概率为30%，得3分概率为10%。学生需要参加3门考试。求事件概率：

А – студент получит все пятерки;全部得5分

В – студент получит ровно 2 пятерки; 2个5分

С – студент получит ровно 1 пятерку;1个5分

D – студент получит хотя бы 1 пятерку;至少1个5分

Е – студент получит хотя бы 2 пятерки;至少2个分

F – студент получит все разные оценки;不同分数

G – студент получит две пятерки и четверку;2个5分和1个4分

Н – студент получит тройку на первом экзамене, четверку – на втором и пятерку на третьем.第一门3分，第二门4分，第3门5分。

Решение. Обозначим: p₁ = 0,6 – вероятность получить пятерку; = 1 – 0,6 = 0,4 – вероятность не получить пятерки; = 0,3 – вероятность получить четверку, = 1 – 0,3 = 0,7 – вероятность не получить четверки; = 0,1 – вероятность получить тройку; = 1 – 0,1 = 0,9 – вероятность не получить тройки.

Тогда

;

= 0,432;

=0,288;

;

;

;

.

Вероятность получить пятерку на экзамене достаточно высокая, поэтому, наибольшей будет вероятность события D – получения хотя бы одной пятерки. В то же время, очевидно, что вероятность события F – получения всех различных оценок – в 6 раз больше вероятности более редкого события Н – получения этих же оценок, но в определенном порядке.获得5分的概率是很高的，所以事件D发生的概率最大。