12.2. Пример решения типового задания по теме «Точечные оценки выборочных числовых характеристик»

Задание № 12. Дана выборка. Найти выборочное среднее, медиану, полусумму квартилей, полусумму экстремальных значений, выборочную дисперсию, выборочное отклонение, абсолютное отклонение, интерквартильную широту, размах. Расположить оценки математического ожидания и отклонения в порядке возрастания. Сделать вывод о степени близости оценок. Указать состоятельность, несмещенность и робастность всех найденных оценок выборочных характеристик. Найти несмещенное выборочное отклонение.给定样本。找出样本平均数，中位数，四分位数之和的一半，极端值之和的一半，样本方差，绝对偏差，四分位数间距，范围。找到升序排列的数学期望估计和偏差，得出接近额度值程度的结论。指出全部指定样本一致性，无偏性，有效性。找出一致估计偏差。

5	1	12	5	21	21	5	5	12
5	12	1	1	5	5	27	21
27	32	5	32	1	12	5	1

Решение. Объем выборки n = 25. Построим вариационный ряд – упорядочим выборку по возрастанию (см. пример в разделе 10).

1	1	1	1	1	5	5	5	5
5	5	5	5	5	12	12	12	12
21	21	21	27	27	32	32

Найдем точечные оценки математического ожидания:

1. Найдем выборочное среднее по формуле (12.1):

.

2. Найдем выборочную медиану по формуле (12.2) аналогично примеру в разделе 10: med = 5.

3. Найдем полусумму квартилей по формуле(12.3). Сами квартили находим по аналогии с примером раздела 10: , .

Тогда .

4. Найдем полусумму экстремальных значений по формуле (12.4). Сами экстремальные значения определяются как в примере раздела 10:

, .

Тогда .

Расположим оценки математического ожидания по возрастанию:

.

Видно, что оценки математического ожидания хорошо согласованы, за исключением, может быть, медианы, значение которой указывает на несимметричный характер распределения значений выборки.

Все оценки математического ожидания являются состоятельными и несмещенными. Робастными будут оценки, при вычислении которых не используются экстремальные значения. Это медиана med, формула (12.2) и полусумма квартилей , формула (12.3).

Найдем точечные оценки средне квадратического отклонения:

1. Выборочную дисперсию находим по формуле ( 12.5):

Выборочное отклонение вычисляется по формуле (12.6):

.

2. Абсолютное отклонение находим по формуле (12.7):

3. Интерквартильную широту находим по формуле (12.8):

.

4. Размах находим по формуле (12.9):

.

Расположим оценки отклонения по возрастанию:

.

Видно, что не все оценки отклонения хорошо согласованы. Но, во всяком случае, порядок возрастания различных оценок математического ожидания совпадает с порядком возрастания сходственных оценок отклонения (медиана – абсолютное отклонение, выборочное среднее – выборочное отклонение, полусумма квартилей – интерквартильная широта, полусумма экстремальных значений – размах). Кроме того, наиболее грубые из оценок – размах и полусумма экстремальных значений, действительно в наибольшей степени отличаются от группы остальных оценок.

Все оценки отклонения являются состоятельными и смещенными. Несмещенное выборочное отклонение находим по формуле (12.10):

Единственной робастной оценкой отклонения является интерквартильная широта, при вычислении которой не используются экстремальные элементы выборки.