6.2. Пример решения типового задания по теме «Биномиальное распределение»例题详解

Задание № 6. Студент может получить пятерку на экзамене с вероятностью 60%. Найти ряд распределения числа пятерок, которые студент может получить в сессию из 3 экзаменов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа пятерок, а также вероятность того, что их будет меньше 2. Построить полигон и функцию распределения.学生有60%的概率在考试时的5分，求学生参加3门考试获得5分的分布律。求数学希望值与方差，以及获得两个以下5分的概率。并绘制分布函数图像。

Решение. Случайная величина Х – число пятерок, которые студент может получить в сессию, очевидно, распределена по биномиальному закону.Действительно проводится ряд испытаний – экзаменов, в каждом из которых может появиться событие А – студент получает пятерку. Эти испытания по условиям задачи проводятся независимо, т.е. результат сдачи каждого из экзаменов не влияет на результат сдачи остальных, по крайней мере, в условиях задачи это не оговаривается. Значит, в нашем праве построить самую простую вероятностную модель изучаемого события – сдачи студентом сессии. В пользу нашего заключения свидетельствует один приведенный в условии факт – вероятность получения пятерки на каждом из экзаменов постоянна для данной сессии данного студента и равна p = 0,6. Соответственно q = 1 - p = 1 – 0,6 = 0,4. Здесь кроется источник главной идеализации, допускаемой при сведении задачи к схеме Бернулли. Действительно, любой, хоть немного знакомый с психологией, либо умудренный пусть и небольшим житейским опытом, понимает, что получение или не получение пятерки уже на первом экзамене, скорее всего, то есть с большой долей вероятности, повлияет на результаты сдачи студентом остальных экзаменов. Как оно повлияет – неясно. Действительно, студент, получив пятерку на первом экзамене, может почувствовать себя окрыленным и «влёт» сдать остальные, а может, наоборот, расслабиться... Для построения более точных вероятностных моделей необходимы серьезные исследования в области педагогической психологии, обработка больших объемов статистических данных и т.д. Ясно, что при решении задач, дающих ответы на глобальные вызовы современности, так и должно происходить. В простых же случаях, подобных нашему, вполне уместна и упрощенная схема Бернулли.

Поскольку наибольшее число пятерок, которые студент может получить в сессию равно 3, то n = 3, и ряд распределения ДСВ имеет вид

随机变量X是学生的5分的数量，学生获得5分是实验A，这个满足重伯努利实验定律，每一次实验室独立的，每次获得的成绩不影响其他考试的成绩，那么得5分的概率 p = 0,6. 相反不得五分的概率q = 1 - p = 1 – 0,6 = 0,4。有三门考试，所以最多有3个5分，所以 n=3, 一次建立随机变量分布

Х	0	1	2	3
Р

Чтобы получить конкретный вид ряда распределения, найдем вероятности по формулам Бернулли (6.1): 伯努利概率公式(6.1)

где биномиальные коэффициенты найдены по формуле (1.2) с учетом соотношений (1.3). 其中二项式系数 由公式（1.2）求出，并考虑上述关系（ 1.3）Тогда ряд распределения ДСВ принимает вид那么该系列随机分布变量分布的形式

Х	0	1	2	3
Р	0,064	0,288	0,432	0,216

Полигон строится способом, подробно описанным в разд. 4 и 5. Его график приведен на рис. 6.1. Четко выделяется мода распределения, равная 2: mod = 2. 图像建立方法在4和5部分详细分析。在图6.1 中建立图像。清晰可辨众数的分布

Рис. 6.1. Полигон числа пятерок, полученных студентом в сессию

学生在考试中的成绩图像

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, находятся по формулам (6.4) и (6.5) 数学期望与随机变量X的方差，根据根据公式(6.4) и (6.5)如下

,

.

Вероятность того, что студент получит не меньше 2 пятерок в сессию, означает вероятность, что он может получить 2 или 3 пятерки, которая вычисляется по формуле (6.3): 学生在会话考试中获得不少于2个五分的概率由下式计算出

.

Эта вероятность оказывается более 50%, поскольку события, состоящие в получении 2 или 3 пятерок, являются наиболее вероятными во всем ряде распределения. 这个概率显示出50％以上，根据事实，取得两个或三个五分具有最大的可能性

Для построения функции распределения величины Х, распределенной по биномиальному закону, воспользуемся правилом (5.5): 为了构造X的分布函数，根据二项式分布规律，我们使用：

,

,

,

,

.

Таблица значений функции распределения имеет вид函数的值分布的表格形式

Х
F(x)	0	0,064	0,352	0,784	1

График этой ступенчатой функций изображен на рис. 6.2. Причем по обеим осям координат выбран различный, способствующий наглядности изображения, масштаб. 根据不同的比例在两轴上建立了该阶梯函数的曲线，示于图6.2 。

Рис. 6.2. Функция распределения биномиального закона для примера № 6函数方差分布图像