Запитання та завдання для самостійної роботи

1. У чому полягає мета математичного моделювання?

2. Які основні властивості моделі?

3. Назвіть послідовність етапів побудови математичної моделі.

4. Чим відрізняються між собою стаціонарна та динамічна математичні моделі?

5. Задача. У родині четверо осіб: чоловік, дружина, та двоє дітей. Річний дохід сім’ї складає a грн. Заплановано купити холодильник, комп’ютер, дві путівки у табір відпочинку та взуття обом дітям. Розподіліть дохід на перелічені товари та послуги, склавши математичну модель у вигляді одного рівняння. Знайдіть кілька розв’язків моделі у цілих числах, кратних 10. Визначте самостійно розмір річного доходу та ціни тих товарів і послуг, які перелічені у задачі. Додайте інші товари та послуги на Ваш розсуд.

6. Побудуйте математичну модель для вибраної Вами реальної моделі.

Розділ 2. Математична творчість

2.1. Специфіка математичної творчості. Викладання математики і творчість

Геній – це один відсоток натхнення

і дев’яносто дев’ять відсотків поту

Томас Едісон

Між роботою учня, який розв’язує задачу з алгебри чи геометрії,

і винахідницькою роботою різниця лише в рівні, в якості,

оскільки обидві роботи одного характеру

Жак Адамар

Що означає викладати? – Це означає

систематично спонукати учнів до власних відкриттів

Герберт Спенсер

Не виключаємо, що дехто із читачів, побачивши заголовок, одразу захоче перегорнути кілька сторінок вперед: «А що тут обговорювати? До математичної творчості, винаходу здатні лише математично обдаровані люди, генії. А кого нагородити тим чи іншим талантом – вирішують на небесах. Тобто, як кажуть, не кожному дано». Чи й справді математиком треба народитися, чи це лише міф про вродженість математичних здібностей, придуманий неуспішними, із певних причин, у математиці людьми?

На тему творчості взагалі і математичної творчості (або творчості в галузі математики) є багато досліджень і статей. Ми не будемо тут аналізувати природу математичної творчості як психічного явища, проникати, що ще складніше, у творчу лабораторію генія, залишимо це заняття психологам. Наша основна мета – заохотити, стимулювати читача до творчого мислення, до розв’язування задач і переконати, що цьому можливо навчатися самому і навчати інших.

Зазначимо, що прагнення збагнути природу наукової творчості і підвищити ефективність творчого мислення, навчитися управляти процесами мислення так, щоб при розв’язанні будь-якої проблеми знаходити правильне і оптимальне рішення, має давню історію. Виникнення евристики – науки про те, як робити відкриття і винаходи, пов’язують з іменем грецького математика Паппа Олександрійського (ІІІ ст.), хоча сам Папп посилається на своїх попередників, зокрема, Евкліда. Пізніше до проблем пояснення і управління творчістю зверталися багато видатних математиків, наприклад, Декарт, Лейбніц, Больцано, Пуанкаре.

Рене Декарт у своїй праці «Правила для керування розуму»²⁴ намагався запропонувати універсальний метод розв’язування задач, який, кажучи дуже схематично, містив три пункти: 1) будь-яка задача зводиться до математичної; 2) будь-яка математична задача зводиться до алгебраїчної; 3) будь-яка алгебраїчна задача зводиться до розв’язання одного-єдиного рівняння.

Джордж Пойа (1888 – 1985) – визначний угорський, швейцарський і американський математик та педагог; основні праці стосуються теорії чисел, математичного і функціонального аналізу, математичної статистики і комбінаторики; зробив великий внесок в популяризацію математики та методику математики, зокрема розв’язування математичних задач	Жак Адамар (1865 – 1963) – видатний французький математик-універсал, автор багатьох фундаментальних праць з алгебри, геометрії, функціонального аналізу, математичної фізики, топології, теорії ймовірностей, механіки та ін.; на основі власних спостережень та свідчень видатних математиків досліджував природу математичної творчості

Аналізу технології математичної творчості присвячені роботи Джорджа Пойя, Жака Адамара, Волтера Сойєра та ін. Багато цінних, на нашу думку, висновків і рекомендацій учених будуть викладені далі в цьому посібнику.

Вважаємо, що читачеві було би корисно ознайомитися із цікавими, живими, майже художніми творами цих авторів, зокрема, «Як розв’язувати задачу», «Математика и правдоподібні міркування», «Математичне відкриття» Д. Пойя, «Прелюдія до математики» В. Сойєра та «Дослідження психології процесу винаходу в галузі математики» Ж. Адамара.

Прикладом дослідження ХХ століття у зазначеному напрямі можуть служити праці Генріха Сауловича Альтшуллера, який понад 40 років досліджував природу творчості і розробляв алгоритм розв’язання винахідницьких технічних задач.

Рене Декарт (1596 – 1650) – французький філософ, математик, фізик, фізіолог. У математиці запровадив Декартову систему координат, основоположник аналітичної геометрії.	Генріх Саулович Альтшуллер (літ. псевдонім Генріх Альтов) (1926 – 1998) –радянський вчений, автор теорій розв’язування винахідницьких задач, развитку технічних систем, развитку творчої особистості, винахідник, письменник-фантаст.

«Кілька років тому в одній статті, – пише Г. С. Альтшуллер, я прочитав про те, що першоджерелом найбільших досягнень і відкриттів в усіх сферах культури, науки, техніки і мистецтва є раптове осяяння, що виникає без видимої причини… Вперше я зустрів такий погляд на творчість тридцять років тому, коли почав займатися винахідництвом. Учені і винахідники, розповідаючи про свої відкриття, з дивовижною одностайністю говорили, що їх раптово осіняла ідея, що неможливо не лише управляти творчим процесом, а й зрозуміти, що це таке і як воно відбувається. І хоча про непізнаваність процесу творчості висловлювалися люди, які багато зробили в науці й техніці, я не повірив їм, не повірив одразу і беззаперечно. Чому все можна пізнати, а творчість ні? Що це за процес, яким, на відміну від усіх інших, не можна керувати?»²⁵

Задовго до Г.С. Альтшуллера тезу про винятковість математичних здібностей категорично заперечував В.А. Юнг: «… досвід показує, що математично нездібний розум зустрічається настільки рідко, як очі, що не розрізняють кольорів, чи люди без ніг» («Как преподавать математику»). А учні Г.С. Альшуллера, вчені-винахідники М.Т. Петрович і В.М. Цуріков стверджують: «Теорема коротка, але дуже важлива: «Кожна людина – потенційний винахідник»²⁶.

Як найчастіше буває, істина десь посередині. Ні саме «натхнення», ні сама «логіка» чи «техніка» із розв’язанням по-справжньому складної проблеми навряд чи справиться. І категорично відкидати вроджені якості, «дар Божий» було б нерозумно. Якби, дотримуючись певних правил, можна було «народжувати» блискучі ідеї, якби натхненню можна було навчитися, – геніїв було би значно більше. Академік А.М. Колмогоров визнавав, що математичним (як і будь-яким іншим) талантом природа обдаровує не всіх. І ніяка наполеглива праця, тренування цього обдарування не замінять. Але, як слушно зауважував вчений, і саме обдарування без наполегливої цілеспрямованої праці нічого не варте.

В одній зі своїх статей А.М. Колмогоров зазначає: «Мій досвід показує, що математично обдарованих людей є досить багато, тільки часто вони самі не вірять у свою обдарованість або ж не знаходять у собі сили розвивати її впертою, спрямованою у певному напрямі працею… Адже творчості необхідно навчатися так само, як і будь-якої іншої справи»²⁷. Бо «нема царського шляху» ні до математичних знань, ні до математичних відкриттів.

Математична творчість вимагає так званого математичного мислення. У чому ж особливості математичного мислення і як йому навчитися? Коли ми говоримо про математичне мислення, то розуміємо особливий стиль міркувань, за допомогою яких вдається проникати в суть явищ зовнішнього світу та наук про зовнішній світ (фізику, хімію, біологію, економіку, соціологію тощо), формулювати і розв’язувати різноманітні математичні задачі і, навіть, вирішувати повсякденні побутові проблеми та життєві ситуації, безпосередньо з математикою не пов’язані. І, хоча, як сама істина, мислення доволі універсальне і математики не володіють якимось таємним ритуалом мислення, все ж математичне мислення має деякі специфічні особливості і відмінності, зумовлені як специфікою об’єктів, що вивчаються, так і специфікою методів, якими послуговуються.

Відомий математик і педагог А.Я. Хінчин вказував на чотири характерні ознаки математичного мислення:

а) чітке дотримання логічної схеми міркувань;

б) лаконізм, «свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший, що веде до мети, шлях, безпощадне відкидання всього, що не є необхідним для бездоганної повноцінності аргументації»;

в ) чіткість, структурування ходу міркувань. «Якщо, наприклад, для доведення якогось твердження ми маємо розглянути чотири можливих випадки, кожен із яких може бути розбитий на ту чи іншу кількість підвипадків, то в кожен момент міркування математик зобов’язаний чітко пам’ятати, де, в якому випадку чи підвипадку його думка зараз знаходиться і які випадки та підвипадки йому ще залишається розглянути»;

г) скрупульозна точність символіки.²⁸

Не претендуючи на повноту чи універсальність характеристики, вкажемо й ми найхарактерніші, на наш погляд, риси математичного мислення та деякі важливі для математика якості характеру.