19. Метод невизначених коефіцієнтів для знаходження частинного розв’язку

лінійного неоднорідного диференціального рівняння зі сталими

коефіцієнтами і правою частиною виду:

а) ax f (x) Pn(x)e ;

б) f (x) e (Pn(x) cosbx Qm(x)sinbx).

20.Числові ряди. Сума ряду. Збіжні і розбіжні ряди. Властивості збіжних рядів. Числовим рядом називають вираз виду а₁+а₂+а₃+….+а_п+..= (1), де а_п – числа, що належать певній системі. Для скороченого позначення рядів використовують знак суми .

Числа а_1, а₂, а₃,…,а_п,.. називаються членами ряду, а_п – загальний член ряду.

Приклади числових рядів:

а). із членів нескінченної геометричної прогресії можна скласти ряд

а₁+а₁q+а₁q²+a₁q³+….+a₁q^n-1+…=

б). ряд складається із чисел обернених натуральним числам

1+1/2+1/3+1/4+…+1/п+…= - гармонічний ряд.

Сума перших п-членів ряду назив. частинною сумою ряду і позначається .

Таким чином з рядом (1) пов’язана послідовність його частинних сум S₁, S₂, S_3,…., S_n,…, де S₁=a_1, S₂= a₁+a₂, S₃= a₁+a₂+a₃, S_n= a₁+a₂+a₃+…+a_n.

Ряд називається збіжним , якщо послідовність його частинних сум збігається, тобто існує скінченна границя . Число S називається сумою ряду. Якщо не існує або дорівнює , то ряд розбігається, розбіжний.

Приклад: дослідити на збіжність ряд ln2+ln3/2+ln4/3+ln5/4+…+ln(n+1/n)+…

S_n=ln2+ln3/2+ln4/3+ln5/4+…+ln(n+1/n)=ln(n+1).

- ряд розбіжний.

Розглянемо ряд нескінченної геометричної прогресії а₁+а₁q+а₁q²+a₁q³+….+a₁q^n-1+…

Сума перших п- членів або . Дослідимо ряд на збіжність в залежності від значення q:

lim S_n-не існує. Таким чином ряд при -збіжний, а при -розбіжний.

20,Властивості збіжних рядів.

Теорема 1: Якщо ряд збігається, який одержано із даного ряду відкиданням декількох його членів, то і збіжним є і сам ряд. І навпаки: якщо збігається даний ряд, то збігається і ряд, який одержано із даного відкиданням декількох членів. Іншими словами, на збіжність ряду не впливає відкидання скінченого числа членів. Теорема 2 : Якщо ряд а₁+а₂+а₃+а_n+… збігається і його сума = S_n, то ряд са₁+са₂+са₃+са_n+… збігається і його сума = с S_n. Теорема 3: Якщо ряди а₁+а₂+а₃+а_n+… і b₁+b₂+b₃+b_n+… -збігаються і їх суми S₁ і S₂ – відповідно, то ряди (а₁₊ b₁)+ (а₂₊ b₂)+…+( а_n+ b_n)+… і (а₁- b₁)+ (а₂- b₂)+…+( а_n- b_n)+… збігаються і їх суми = S₁+S₂ і S₁-S_2.

21. Необхідна ознака збіжності ряду. Гармонічний ряд.

В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

22.Ознаки порівняння збіжності ряду. Приклади

Теорема. Якщо дано 2 ряди ^_n=1 a _n і ^ _n=1 b _n з додатніми членами і існує скінчена границя lim_n a_n / b _n= к>0, то обидва ряди одночасно є збіжними або розбіжними

Приклад:

Дослідити на збіжність ряд ^_n=1 sin 1/ n

Порівняємо даний ряд з гармонічним рядом ^_n=1 1/n _; a _n = sin 1/n; ln = 1/n; lim _n a _n / b_n = lim _n sin 1/n / 1/n=1>0.

так як ряд є розбіжним то і даний ряд є розбіжний.

Питання про збіжність ряду

P_k (n) / Q _L (n) де P_k (n) і Q _L (n) многочлени степеня k і l відповідно. Можна вирішити порівнянням його з рядом ^_n=1 1 / n^ де  = L - k

Приклад:

Дослідити на збіжність ряд ^_n=1 2 _n -1 / n ² k=1, l-2,= l - k = 2-1 =1, порівняємо з гармонічним рядом ^_n=1 1/n ; a _n = 2 _n- 1 / n ² , b _n = 1/n. lim _n a _n / b_n = lim _n 2 _n - 1 / n ² * n/ 1 = lim _n 2 _n- 1 / n = 2 >0. Оскільки гармонічний ряд розбіжний то і даний ряд є розбіжним.